随机过程

本着为财经院校数学专业以及经济、金融专业学生授业解惑的初衷，本书着重于对随机过程基本知识和逻辑方法的介绍，努力阐述概率论与随机过程的核心概念和思维方式，引导学生直观地理解随机现象，而不纠缠于其中的数学细节。测度论并不是本书必需的先修课程，但本书的写作方式会使那些懂得测度论的读者更深刻地了解本书呈现的主题。本书的基本架构是按随机过程的模型来分章节，从简单到复杂，另外配合精彩内容选用了比较多的例子，希望学生通过具体例子来了解随机过程模型。本书一共七章：第一章涵盖概率论的基础知识，第二章以阐述的方式特别介绍了条件期望以及随机过程的一般概念。从第三章开始讨论常用的随机过程模型，包括马氏链、Poisson过程、更新过程、鞅和Brown运动，其中马氏链这一章出于强调直观背景的目的，仅介绍离散时间马氏链，包括非常返、零常返、正常返、平稳分布等概念，最后讨论了分支过程。第五章主要讲解更新过程的基本思想，讨论了一些简单的排队论问题。第六章是离散鞅论，在条件期望的现代定义的基础上，对鞅的一些思想和性质做了初步介绍，并通过二叉树模型和期权定价问题给出了鞅基本理论的简单应用。第七章介绍了Brown运动的概念和部分基础性质，它是最重要的随机模型，与其他数学分支及物理学、生物学、金融学都有着深刻的联系，以它作为本书的结束，希望读者对于随机过程的理论和应用价值有一个更深刻的认识。

第一章概率论述要
§1.1随机变量
§1.1.1概率空间
§1.1.2分布
§1.1.3期望与方差
§1.1.4例
§1.2随机向量
§1.2.1联合分布
§1.2.2协方差与协方差矩阵
§1.2.3例
§1.3极限定理
§1.3.1可积性与不等式
§1.3.2Chebyshev不等式
§1.3.3Bernoulli大数定律
§1.3.4Borel-Cantelli引理
§1.3.5例
§1.3.6极限与期望交换
§1.4中心极限定理
§1.5特征函数
§1.6矩母函数及母函数
习题
第二章随机过程预备知识
§2.1条件期望
§2.1.1事件域与可测性
§2.1.2条件概率与条件期望
§2.1.3理解条件期望
§2.2随机过程
§2.2.1定义
§2.2.2样本轨道
§2.2.3常见的随机过程
习题
第三章离散时间马氏链
§3.1随机游动
§3.1.1格点轨道与反射原理
§3.1.2对称简单随机游动
§3.2马氏链的基本定义
§3.3ChapmanKolmogorov方程与状态的分类
§3.3.1Chapman—Kolmogorov方程
§3.3.2状态之间的关系
§3.3.3状态的分类
§3.4Pt的极限性质与平稳分布
§3.4.1基本极限定理
§3.4.2平稳分布
§3.5Galton-Watson分支过程
习题
第四章Poisson过程
§4.1预备知识
§4.2PoiSSOYL过程的定义
§4.3来到间隔与等待时间的分布
§4.4来到时间的条件分布
§4.5*非齐次Poisson过程
§4.6复合Poisson过程
习题
第五章更新过程
§5.1基本定义
§5.2N(t)的分布与更新函数
§5.2.1N(t)的分布
§5.2.2更新函数
§5.3极限定理与停时
§5.3.1停时
§5.3.2基本更新定理
§5.4*关键更新定理及其应用
§5.4.1更新定理
§5.4.2关键更新定理的应用
习题
第六章鞅
§6.1公平游戏与鞅
§6.2鞅基本定理
§6.2.1停时
§6.2.2Wald等式
§6.2.3首次通过时
§6.3在金融中的应用
§6.3.1模型无关的定价定理
§6.3.2二叉树模型
§6.3.3美式买入期权
习题
第七章Brown运动
§7.1Brown运动的定义
§7.2Brown运动的性质
§7.3Brown运动的其他性质
§7.3.1首中时与最大值变量
§7.3.2反正弦律
§7.4例
§7.5粗糙轨道
§7.6Brown运动与鞅
习题
参考文献