脑洞大开的微积分

本书主要是面向青少年和本科经济类学生的自学教程。也可以作为面向大众的科普读物。本书中的趣味阐述使得微积分简单易学，并且涉及重要极限、中值定理、微分方程等微积分中核心概念。贴近我国读者的现实生活和考试文化。

刘祺，2004年成为程序员，曾参与多篇外文学术文献的翻译工作。目前是图形图像程序员、独立黑客、数学达人。热心的开源社区志愿者，并为Rust程序设计语言和Servo提供中文本土化页面，参与了《Rust程式语言》一书的翻译工作。撰写了《椭圆面积公式推导方法比较》《人肉挑战欧拉计划》《除了吃以外的世界：舌尖上的数学》等广受好评的文章。目前在个人公众号上连载《磨磨叽叽的C语言：C语言入门到精通》。

第1章缩印需要多少纸1
1.1打印店情景重现2
1.2打印店中的函数和映射2
1.3精通多元函数的慷慨老板8
1.4花哨小店与集合论10
1.5圆珠笔到底是笔还是塑料14
第2章火车与春运21
2.1从春运说起22
2.2从行车轨迹到函数图像22
2.3火车与对称29
2.4数列的极限31
2.5巴塞尔问题32
2.6两个重要极限之一33
2.7无穷小的比较35
2.8两个重要极限之二37
2.9重要极限为何重要39
第3章计算面团的大小45
3.1厨房数学二三事46
3.2建立数学模型46
3.3假说演绎法47
3.4直觉和运气49
3.5面团的模型50
3.6导数公式52
3.7导数公式推导示例54
3.8导数的运算法则55
3.9再战！复合函数56
3.10反函数与反函数求导57
3.11中文房间与黑箱模型59
第4章弹珠的运动63
4.1拨开历史的迷雾64
4.2导数存在的准则64
4.3罗尔定理66
4.4拉格朗日中值定理68
4.5伽利略的困惑69
4.6泰勒展开70
4.7泰勒其人其事73
第5章股市的预测79
5.1证券交易市场的起起落落80
5.2曲线的拟合80
5.3再探函数81
5.4一般的直线和竖直线82
5.5圆84
5.6从圆到椭圆85
5.7三次样条线87
5.8函数的单调性和驻点89
5.9极值点91
5.10更好的股票：凸凹性93
第6章桥洞的设计101
6.1从赵州桥说起102
6.2另外的拟合102
6.3初识积分表104
6.4模块化的思维与不定积分定义推广105
6.5积分公式证明107
6.6积分表再扩展108
第7章做一件大褂需要多少布121
7.1DIY的潮流122
7.2再探不定积分122
7.3常数C可写可不写吗124
7.4从不定积分到定积分125
7.5加法的方向129
7.6过去的面积公式131
7.7高观点下的面积公式132
7.8再探圆和椭圆133
7.9神奇的直角三角形135
7.10“万变不离其宗”的四边形140
7.11曲边梯形的面积144
第8章包饺子需要多少馅147
8.1多包一些还是少包一些148
8.2从圆面积到圆周长148
8.3弧长公式150
8.4弧长公式的检验151
8.5表面积153
8.6高观点下的体积公式154
8.7再探表面积155
8.8计算的误区155
8.9重积分初探156
8.10馅少了怎么办157
第9章选购鱼缸161
9.1养鱼的学问162
9.2水压的计算162
9.3从数学到物理163
9.4变力做功164
第10章模拟确定急诊方案167
10.1酒精中毒引关注168
10.2从开普勒到微分方程168
10.3初探微分方程169
10.4齐次方程170
10.5一阶线性方程171
10.6微分方程模型172
后记175
附录1本书使用的符号体系177
附录2常用公式及其证明178
附录3积分表190
附录4多元函数的微积分简介204
参考文献206

推荐序一
其实在学生时代，数学是我非常讨厌的课程，是典型的“数学过敏症”的患者。当听到数学老师说“这又是一道送分题”的时候，我就在内心暗暗地说：“要不起。”
当得知要为这样一本书作序的时候，我只是觉得又要有一本我看不懂的大学教材缩印本将在不久的将来被印刷出来了。但是当我看到本书的目录时，这种念头就突然消失了。我想：这也许是一本我能看得懂的数学书。
这本书一上来就是讨论我抵触的函数，但是作者却没有用教科书式的口吻来讲解函数。而是把我领入了一个真实的情景中。碰巧，第1章所说的情景正是我开始阅读这本书的当天所经历过的，所以它一下就激发起了我的兴趣。这本书也许正是改变人们对数学刻板印象的末班车。
在过去的很长一段时间里，数学（奥数）一直作为小升初和中、高考的加分项。数学教育一直被家长的功利心所辖制，数学教师更是本着“勤能补拙”的信条搞题海战术、竞赛轰炸。然而，随着近年来数学（奥数）不再享受加分政策，家长和教师马上就转移了阵地。开始大搞加分补习和特长补习。一旦抛开功利，那么人们还有多少对数学的热爱呢？
现代社会对人的数学素养要求越来越高。自第二次世界大战之后，几乎全世界都认为美国在新科技发展中有着领先地位。实际上这些科技创新都依赖于美国在数学和科学教育上的一骑绝尘。换句话说，如果想培养创新型人才，就必须重视数学教育。
随着科技的发展和社会的进步，数学不再只是工程学技术的基础课程，而会与越来越多的新领域相互渗透，形成交叉学科。
时至今日，对能够熟练应用数学科学劳动者的需求与日俱增。“高新技术的本质就是数学技术”的观点已经被越来越多的人所接受。然而，对数学、科学以及工程学学位的授予比例却在逐渐减少。一项报告指出，有超过22%的大学低年级学生需要接受数学方面的补习。而真正能达到毕业所需数学水平的大学生人数不足一半。
这本书抛开了传统的大学教材式的思路，而是通过场景化和生活化的实例，来向读者展示什么是微积分、微积分如何学习以及如何解决微积分题目。这是一本手把手教你数学思考过程的神奇之书，而不是单纯地证明公式和使用公式。而作者的口语化行文也让这本书简单易读。
另外，这本书对读者的数学水平要求并不高，却能大幅度提升读者的数学素养。像我这种自从高中毕业就再也没怎么学习过数学的人，也可以通过自学本书达到大学本科生的平均水平。
传统的数学教材无疑是偏重让学生掌握准确快捷的计算方法和严谨的逻辑推理，而这本书则是培养读者使用数学工具分析和解决实际问题的意识和能力。
大多数本科生所使用的是经典的《高等数学》这本教材，和其他的典型教材一样它也是按照数学的逻辑思路来写的。但是对于丝毫没有学习数学兴趣的读者而言，这样的教材就很可能读不下去。而这本书和教材最大的不同就是，它总是先展示一个生活中常见的问题，再顺理成章地解释它背后的数学原理，最后归纳出严谨的数学定理。这正是这本书最为引人入胜的地方。
在阅读这本书之前，我也是认为“数学只要学到够买菜计数的程度就行”中的一员。而这本书超越了我从小学到高中毕业的所有对数学的认识。虽然这本书只有十章的内容，可它带来的效果却超过了之前十二年的数学教育。
如果现在你还认为“数学只需要学会加减乘除”的话，我推荐你看一看这本书，它将会颠覆你对数学的认识。
那么，你准备好了吗？

北京源智天下科技有限公司
CEO 魏少华


推荐序二
我们都曾在打印店打印过很多次，算是打印店的常客了。可是你有没有发现打印店的老板在打印和缩印操作中的秘密？你有没有想过缩印中包涵的数学问题呢？那么你平时买东西的时候呢？又有没有仔细思考其中的数学方法是什么？当你面对春运的时候，难道你只是在抱怨人多吗？你有没有尝试着发掘其中的数学问题呢？
当然，你可能会认为，这些问题这么简单，不可能有什么数学方法。或者说，高等数学和微积分这么抽象的东西，怎么可能在这些小问题中体现呢？如果是这样的话，你可真是错得有些离谱。其实数学问题都是源于生活但又高于生活的，把数学和生活彻底分开是不合理的且不可能的。当然了，数学也并不是完全枯燥无味的，只是你还没有找到一个适合自己的学习方法。
从翻开这本书的初稿开始，我就对它充满了期待。这本书稿将数学完美地融入到了日常生活之中，让你在体会平日里生活的同时，感受到数学那独有的魅力。这本书稿里的内容将会重新唤醒你对于数学的热爱，让数学不再是你学习的梦魇。
作为一名理科专业的大学老师，我非常怕被新进校园的同学们问：“怎样才能学好高数”。因为高等数学和微积分的一部分内容，无论是文科生还是理科生，在高二时就已接触过一部分了。在我们看来，同学们都是有一定基础的，而忽略了同学们为了应试，对数学大都囫囵吞枣，而大学里的数学教学也有课时限制，老师往往不能帮同学们温故知新。所以期末考试所有学生几乎都靠背公式、例题，因此同学们似乎进入了一个无法逃脱的怪圈——“考前背、考后忘、就怕下届学弟问”。
当我第一次看见这本书稿的时候，我是开心的。因为当时我们的高等数学刚好也教到了重积分，对上学期就没有扎实积分功底的同学来说，高数课就是“老师在讲，自己在看书”，而且有些同学的进度慢了不止一两节。所以我立刻分享了这本书稿的部分内容给同学们，希望他们可以通过这本书提高学习数学的兴趣，补习一些数学基础。
或许你们会想问：“有关积分的课本那么多，为什么要分享作者这一本呢？”市面上除了那些高数课本以外，的确还有很多的教辅书，可是这些书都是通俗易懂、结合生活的吗？而本书只通过十个例子，就给我们讲解（普及）了高等数学中的很大一部分知识，也巧妙避开了那些枯燥的证明过程。这本书稿诠释了“数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的思想方法”的道理。在我看来，教科书是让你通过期末考试，而《脑洞大开的微积分》则是让你会使用微积分。
这本书稿帮助我的学生打破了之前对数学的一种认识——数学越学越枯燥。不仅如此，受到这本书稿的启发他们反而觉得数学越读越有趣。特别是这本书的第7章，让同学们站在微积分的高观点上俯视初等数学，让同学们终于弄懂了那些抽象的面积公式是怎么证明出来的。让同学们开始关注那些“想当然”的东西背后的数学原理，而这正是站在微积分的数学山峰上才能看到的壮美风景。
《脑洞大开的微积分》真的会让你的脑袋“开个大洞”，它会为你打开通往数学世界的崭新大门。只要将这本书作为你的大学数学入门书籍，相信你一定会爱上数学。如果你还没有准备好，那么现在就跟随这本书，一起进入数学的世界吧！

清华大学土木系教授
周虎