线性代数/高等教育公共基础类十四五系列规划教材

本书共8章。 第1章主要从线性方程 组的高斯消元法求解过程 自然地引出矩阵及初等变 换，得到线性方程组的解 的情况，并介绍了线性方 程组的一些应用。 第2章首先介绍了矩阵 的线性运算，接着从线性 方程的角度引出矩阵的乘 法。对于矩阵的逆也是紧 密结合线性方程组、矩阵 的初等变换给出其判定的 充要条件。本章的最后两 节介绍了矩阵的转置与分 块。 第3章根据方阵可逆的 充要条件，分别从一阶、 二阶、三阶方阵可逆推导 出这些低阶方阵的行列式 不等于零，进而以递推方 式给出了n阶行列式的定 义。以初等行变换作用在 矩阵上使得矩阵的行列式 发生相应变化，从本质上 展现出行列式的性质。本 章还介绍了行列式的计算 以及克莱姆法则等应用。 第4章引入了n维向量 的概念，讨论了向量组线 性相关和线性无关的概念 和性质，向量的线性关系 是线性代数最重要的基本 概念之一，本章的许多结 果都是基于线性无关性的 概念来展开的。在介绍了 向量组的极大线性无关组 和秩后，进一步考虑了向 量空间Rn的基、维数、 向量坐标和子空间等概念 。矩阵的秩作为列向量组 的秩引入。在此基础上， 本章系统地研究了线性方 程组的问题，讨论了一般 线性方程组有解的条件、 解的性质、解的结构，使 线性方程组的理论表述更 加简明、深刻。 第5章引入了抽象的线 性空间的概念，研究了线 性空间的性质与结构，为 进一步揭示线性空间的向 量之间的内在联系，研究 了线性变换的性质及其与 矩阵之间的关系。线性空 间与线性变换深刻地揭示 了线性代数各种问题的本 质，具有高度的抽象概括 性，初步体现了从具体到 抽象、化抽象为具体的代 数思想。根据不同专业的 要求，本章可选择性地教 学。 第6章和第7章特征向 量与二次型的内容集中在 矩阵理论及其应用几个方 面：矩阵的相似、合同， 矩阵对角化的条件，实对 称矩阵正交相似与对角形 矩阵的理论与计算，实对 称矩阵与实二次型的分类 并应用于函数的极值问题 ，以及二次曲线、二次曲 面的分类。 第8章介绍了国产数学 软件北太天元的最基本的 使用方法以及用以解决最 基本线性代数问题的有关 指令，并给出了若干应用 实例，可用于计算机辅助 教学。

第1章 线性方程组 1.1 线性方程组高斯消元法与矩阵 1.2 行化简和阶梯形矩阵解的存在性与唯一性 1.3 线性方程组的应用 习题1 第2章 矩阵代数 2.1 矩阵与向量 2.2 矩阵的代数运算 2.3 逆矩阵与矩阵的初等变换 2.4 矩阵的转置 2.5 分块矩阵 习题2 第3章 行列式 3.1 方阵的行列式 3.2 行列式的主要性质 3.3 行列式的应用 习题3 第4章 向量空间 4.1 向量与线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的极大线性无关组和秩 4.4 子空间 4.5 基、维数和坐标 4.6 矩阵的秩 4.7 线性方程组的有解条件及解的结构 习题4 第5章 线性空间与线性变换 5.1 线性空间 5.2 线性变换 5.3 线性变换的矩阵 习题5 第6章 特征值与特征向量 6.1 矩阵的特征值与特征向量 6.2 矩阵的相似对角化 6.3 实对称矩阵的正交相似对角化 习题6 第7章 二次型 7.1 二次型及其矩阵表示 7.2 二次型化为标准形 7.3 正定二次型 7.4 二次型的应用 习题7 第8章 北太天元在线性代数中的应用 8.1 北太天元简介 8.2 北太天元的基本操作 8.3 向量的生成与运算 8.4 矩阵的生成与运算 8.5 常用的矩阵函数 8.6 线性方程组求解 8.7 化二次型为标准形