微积分教程

如何让微积分知识走下理论神坛，推动我国微积分教学向现代化、实用化方向发展，是大学微积分教学改革的重点，也是本书着力思考和进行突破的重点。对广大学生来讲，大学的数学教育不仅仅是基础技能教育，更是素质教育和思维培养。基于此，本书内容上力求简明、扼要，在叙述中淡化细节，注重阐述数学思想，避免了过多的数学推导给同学来的压力和恐惧，从感性上帮助学生建立起对数学知识的理解和认同。本书在理论上保持了数学界一贯的完整性和严谨性。全书共计30万字左右，分成五个章节。靠前章函数、极限与连续，包括函数、函数极限、函数的连续性三节内容。第二章导数与微分，包括导数的概念、导数的各类求法和高阶导数、微分三节内容。第三章中值定理与导数的应用，包括微分中值定理、洛必达法则、函数的单调性和凹凸性、函数的极值和很值四节内容。第四章不定积分与微分方程，包括不定积分的定义与性质、不定积分的各类求法、微分方程简介三节内容。第五章定积分及其应用，包括定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元法与分部积分法、定积分的应用、广义积分五节内容。虽然章节不多，但承接有序，通俗易懂，例题习题设置典型丰富。

杨清霞，副教授。2007年8月至2008年8月，美国有名常青藤高校康奈尔大学数学系访问学者。从教十多年来，一直致力于面向数学基础参差不齐的学生，从事微积分、线性代数、概率统计等课程的教学工作。先后在核心期刊发表多篇文章。2010年参加学校第七届教师教学比赛，获得一等奖。2013―2015年主持校级《高等数学》很好课程建设。

第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
一、集合
二、函数
三、学法建议
习题1―1
习题1―1答案与提示
第二节 函数极限
一、数列极限
二、函数极限
三、学法建议
习题1―2
习题1―2答案与提示
第三节 函数的连续性
一、函数连续的有关概念
二、函数的间断点
三、闭区间上连续函数的性质
四、学法建议
习题1―3
习题1―3答案与提示
总复习题一
总复习题一答案与提示
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、实例引入
二、导数的定义
三、导数的运算法则
四、导数表
五、学法建议
习题2―1
习题2―1答案与提示
第二节 导数的各类求法及高阶导数
一、导数的各类求法
二、导数的简单应用
三、高阶导数
四、学法建议
习题2―2
习题2―2答案与提示
第三节 微分
一、问题提出
二、微分的定义
三、可导与可微的关系
四、微分的几何意义
五、微分表与微分运算法则
六、微分近似公式
七、学法建议
习题2―3
习题2―3答案与提示
总复习题二
总复习题二答案与提示
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一、罗尔（Rolle）定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
三、柯西（Cauchy）定理
四、学法建议
习题3―1
习题3―1答案与提示
第二节 洛必达法则
一、洛必达法则I（0/0型不定式）
二、洛必达法则Ⅱ（∞/∞型不定式）
三、其它不定式
四、学法建议
习题3―2
习题3―2答案与提示
第三节 函数单调性和曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸性与拐点
三、学法建议
习题3―3
习题3―3答案与提示
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值
二、闭区间上连续函数的最大值与最小值
三、极值应用问题
四、函数图形的描绘
五、学法建议
习题3―4
习题3―4答案与提示
总复习题三
总复习题三答案与提示
第四章 不定积分与微分方程
第一节 不定积分的定义与性质
一、原函数
二、不定积分的定义
三、不定积分的性质
四、不定积分的基本积分公式（不定积分表）
五、不定积分的几何意义
六、学法建议
习题4―1
习题4―1答案与提示
第二节 不定积分的各类求法
一、直接积分法
二、凑微分法（第一换元积分法）
三、分部积分法
四、换元积分法（第二换元积分法）
五、学法建议
习题4―2
习题4―2答案与提示
第三节 微分方程简介
一、微分方程的有关概念
二、可分离变量的微分方程
三、一阶线性微分方程
四、二阶线性微分方程解的结构
五、二阶常系数齐次线性微分方程
六、二阶常系数非齐次线性微分方程
七、学法建议
习题4―3
习题4―3答案与提示
总复习题四
总复习题四答案与提示
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分的概念与性质
一、实例引入
二、定积分的定义
三、定积分的性质
四、学法建议
习题5―1
习题5―1答案与提示
第二节 微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
二、积分上限函数
三、牛顿-莱布尼兹公式
四、学法建议
习题5―2
习题5―2答案与提示
第三节 定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法
二、分部积分法
三、学法建议
习题5―3
习题5―3答案与提示
第四节 定积分的应用
一、定积分的元素法
二、平面图形的面积
三、旋转体体积
四、平行截面面积为已知的立体的体积
五、平面曲线的弧长
六、定积分在物理中的简单应用
七、学法建议
习题5―4
习题5―4答案与提示
第五节 广义积分
一、无穷区间的广义积分
二、无界函数的广义积分
三、学法建议
习题5―5
习题5―5答案与提示
总复习题五
总复习题五答案与提示
附录 常见的中学数学公式
一、实数的运算
二、绝对值
三、常见的乘法公式
四、分式运算
五、一元二次方程
六、不等式
七、数列
八、三角公式
九、排列组合