本书旨在帮助学生理解和掌握线性代数中四个核心问题的解法:
Ax = b n × n 矩阵 第 1, 2 章 线性方程组
Ax = b m × n 矩阵 第 3, 4 章 最小二乘法
Ax = λx n × n 矩阵 第 5, 6 章 特征值
Av = σu m × n 矩阵 第 7, 8 章 奇异值
外封上的图形展示了矩阵 A 的四个基本子空间, 以及线性代数的核心内容:
当向量 b 在矩阵 A 的 (红色) 列空间内时, Ax = b 可解;
特解向量 y 在 (黄色) 行空间中, 即 Ay = b;
再加上矩阵 A 的 (绿色) 零空间中的任意向量 z, 即 Az = 0;
完整解向量是 x = y + z. 因此 Ax = Ay + Az = b.
由这些子空间可引出线性代数基本定理, 该定理描述了
(1) 四个子空间的维数;
(2) 两组子空间的正交性;
(3) 四个子空间的最佳基向量.
本教材与作者在麻省理工学院 OpenCourseWare 平台上的教学视频和辅助材料相配套. 许多大学和学院 (以及中学) 使用本书作为教材. 第 8—12 章可作为线性代数进阶学习材料.
