数学分析选讲

本书按专题选讲的形式编写, 配有一定数量的典型练习题, 包括极限、一元函数的连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、级数、多元微积分。

第1章 极限 1 1.1 利用定义证明极限 2 1.2 利用单调有界准则证明极限 5 1.3 利用柯西准则证明极限 7 1.4 计算极限的几种方法 9 1.4.1 利用等价代换和初等变形 9 1.4.2 利用已知极限 11 1.4.3 利用变量替换 12 1.4.4 利用两边夹准则 12 1.4.5 利用Stolz公式 13 1.4.6 其他常用方法 15 1.5 递推形式的极限 21 1.5.1 利用单调有界准则 21 1.5.2 利用压缩映射原理 22 1.5.3 利用不动点方法 23 第2章 一元函数的连续性 25 2.1 连续性的证明及应用 26 2.1.1 连续性的证明 26 2.1.2 连续性的应用 29 2.2 一致连续 32 2.2.1 利用一致连续的定义及其否定形式 32 2.2.2 一致连续与连续性的关系 34 第3章 一元微分学 37 3.1 导数 38 3.1.1 导数的定义与可微性 38 3.1.2 高阶导数与莱布尼茨公式 40 3.2 微分中值定理 43 3.2.1 罗尔定理 43 3.2.2 拉格朗日中值定理 45 3.2.3 柯西中值定理 48 3.3 泰勒公式 50 3.3.1 证明中值公式 50 3.3.2 利用泰勒公式证明不等式 52 3.3.3 中值点的极限 54 3.4 不等式 56 3.4.1 利用单调性证明不等式 56 3.4.2 利用微分中值定理证明不等式 56 3.4.3 利用泰勒公式证明不等式 57 3.4.4 利用求极值的方法证明不等式 57 第4章 一元函数积分学 59 4.1 积分与极限 60 4.1.1 利用积分求极限 60 4.1.2 积分极限 61 4.2 定积分的可积性 65 4.2.1 利用定义证明可积性 66 4.2.2 利用定理证明可积性 67 4.3 积分不等式 71 4.3.1 利用微分学的方法证明积分不等式 71 4.3.2 利用被积函数的不等式证明积分不等式 71 4.3.3 利用泰勒公式证明积分不等式 72 4.3.4 利用Schwarz不等式证明积分不等式 72 第5章 级数 75 5.1 任意常数项级数敛散性的判别方法 76 5.1.1 利用常数项级数收敛定义 76 5.1.2 利用常数项级数收敛的柯西准则 78 5.1.3 利用常数项级数收敛性质 82 5.2 正项级数敛散性的判别方法 85 5.2.1 利用正项级数一般项自身性质 85 5.2.2 利用已有敛散结果 92 5.3 某些特殊类型的一般项级数敛散性的判别方法 102 5.3.1 针对交错级数的莱布尼茨判别法 102 5.3.2 针对某些特殊类型的一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 107 5.4 函数项级数一致收敛的判别方法 115 5.4.1 利用函数项级数一致收敛定义 115 5.4.2 利用函数项级数余项性质 116 5.4.3 利用函数项级数一致收敛的柯西准则 121 5.4.4 利用函数项级数一致收敛的优级数判别法 124 5.4.5 利用函数项级数一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 125 5.5 一致收敛的函数项级数的性质 131 第6章 多元微积分 143 6.1 多元函数极限与连续 144 6.1.1 重极限与累次极限 144 6.1.2 多元函数连续性 146 6.2 多元函数可微性 150 6.2.1 偏导数计算 150 6.2.2 复合函数可微性 151 6.2.3 多元函数可微性应用 153 6.2.4 对微分方程进行变量替换 154 6.2.5 隐函数 156 6.3 多元函数极值与最值 159 6.3.1 无条件极值 159 6.3.2 条件极值 160 6.3.3 最值 161 6.4 重积分 163 6.4.1 二重积分 163 6.4.2 三重积分 166 6.5 曲线积分与曲面积分 169 6.5.1 第一型曲线积分 169 6.5.2 第二型曲线积分与格林公式 170 6.5.3 第一型曲面积分 171 6.5.4 第二型曲面积分与高斯公式 173 6.5.5 斯托克斯公式 175 参考文献 178