Fundamentals of modern applied mathematics

本书结合例题，系统地 介绍集合论、近世代数、点 集拓扑、泛函分析、分布理 论、微分几何等近代应用数 学的基本内容及其在自然科 学研究中的应用。书中强调 对近代数学概念的理解和对 重要论证方法的思路分析， 以帮助读者掌握数学推理的 基本思维方法，学会把近代 应用数学中的重要定理和方 法应用到本专业的具体问题 中去。 本书可作为物理、天文 、化学、地学、生物、计算 机等专业学习相关课程的教 材或参考书，也可供相关领 域科研人员阅读参考。

苏维宜，南京大学数学系教授，博士生导师。科研主攻方向是数学科学的重要分支——调和分析与分形分析。发表学术论文百余篇（其中半数以上发表在国内外SCI期刊上）。科研专著3部。完成国家重大基础研究项目（非线性科学）的子项目（分形分析）一项、国家自然科学基金面上项目十余项。培养获数学博士学位的研究生15名、获硕士学位的22名。指导博士后7名。科研成果卓著，是国内公认的本领域的学术带头人。在国际上有较大影响，多次主办国内外数学学术会议，并应邀作学术报告。教学方面，数十年中开设数学系基础课程、专业课程十余门，主持南京大学、江苏省、国家教学改革项目4项，主持国家精品课程《高等数学》十余年。编写本科生、研究生教材4本。在教育科研战线上辛勤耕耘52年，爱岗敬业，严谨治学。教学精益求精，深受学生爱戴，2015年荣获南京大学教学终身成就奖。

Preface Chapter 1 Set,Structure of Operation on Set 1.1 Sets,the Relations and Operations between Sets 1.1.1 Relations between sets 1.1.2 Operations between sets 1.1.3 Mappings between sets 1.2 Structures of Operations on Sets 1.2.1 Groups,rings,fields,and linear spaces 1.2.2 Group theory,some important groups 1.2.3 Subgroups,product groups,quotient groups Exercise 1 Chapter 2 Linear Spaces and Linear Transformations 2.1 Linear Spaces 2.1.1 Examples 2.1.2 Bases of linear spaces 2.1.3 Subspaces and product/directsum/quitient spaces 2.1.4 Inner product spaces 2.1.5 Dual spaces 2.1.6 Structures of linear spaces 2.2 Linear Transformations 2.2.1 Linear operator spaces 2.2.2 Conjugate operators of linear operators 2.2.3 Multilinear algebra Exercise 2 Chapter 3 Basic Knowledge of Point Set Topology 3.1 Metric Spaces,Normed Linear Spaces 3.1.1 Metric spaces 3.1.2 Normed linear spaces 3.2 Topological Spaces 3.2.1 Some definitions in topological spaces 3.2.2 Classification of topological spaces 3.3 Continuous Mappings on Topological Spaces 3.3.1 Mappings between topological spaces,continuity of mappings 3.3.2 Subspaces,product spaces,quotient spaces 3.4 Important Properties of Topological Spaces 3.4.1 Separation axioms of topological spaces 3.4.2 Connectivity of topological spaces 3.4.3 Compactness of topological spaces 3.4.4 Topological linear spaces Exercise 3 Chapter 4 Foundation of Functional Analysis 4.1 Metric Spaces 4.1.1 Completion of metric spaces 4.1.2 Compactness in metric spaces 4.1.3 Bases of Banach spaces 4.1.4 Orthgoonal systems in Hilbert spaces 4.2 Operator Theory 4.2.1 Linear operators on Banach spaces 4.2.2 Spectrum theory of bounded linear operators 4.3 Linear Functional Theory