随机微分方程基本理论及应用

本讲义共分五个部分. 第一部分包括前六讲, 简要介绍了概率论的基本概念、结论和方法. 第二部分包括第七-十讲, 介绍布朗运动的基本概念和性质. 第三部分包括第十一-十八讲, 其中第十一- 十五讲介绍~Ito~随机积分的概念及其重要性质, 例如特别重要的Ito等距、 Ito乘积法则和Ito~链式法则. 第十六-- 十八讲介绍Ito随机微分方程的例子, 以及强解的存在性和专享性定理. 第四部分包括第十九-二十一讲, 介绍随机积分概念的推广, 分别介绍了Stratonovich 随机积分, 以及Poisson过程驱动的随机微分方程理论. 第五部分侧重于介绍随机常微分方程和随机偏微分方程在随机控制、金融、生物数学等领域应用，最后给出相关数值计算.

曾荣获"2011上海市优秀博士论文"、"2015上海市优秀硕士论文"指导教师、上海大学研究生靠前'好导师'(第三届)。宾州州立大学、纽约大学、上海数学中心等科研单位访问学者。

目录
前言
第1部分 概率论与 Brown 运动基础
第1讲 引言 3
1.1 科学研究的基本方法 3
1.2 利率 4
1.3 期权及其定价问题 5
1.4 随机微分方程 7
1.5 Black-Scholes 方程的推导 8
1.6 历史概述 9
第2讲 概率论公理 11
2.1 随机性的本质 11
2.2 概率空间 11
2.3 例子 13
2.4 Bertrand 悖论 16
第3讲 随机变量 19
3.1 随机变量的概念和例子 19
3.2 关于一般测度的积分 21
3.3 随机变量的期望、方差及其概率分布函数和概率密度函数 29
第4讲 独立性、条件期望 (一) 33
4.1 随机变量的独立性 33
4.2 独立的随机变量的性质 35
4.3 条件期望 37
第5讲 条件期望 (二)、鞅 41
5.1 条件期望的几何定义 41
5.2 条件期望的性质 42
5.3 鞅的定义 44
5.4 鞅不等式 45
第6讲 基本概率方法 49
6.1 Chebyshev 不等式 49
6.2 Borel-Cantelli 定理 49
6.3 特征函数 51
6.4 大数定律 52
6.5 中心极限定理 55
第7讲 Brown 运动的概念 57
7.1 宏观描述: 扩散 57
7.2 微观描述: 随机游走 59
7.3 Brown 运动的定义及其有限维分布 62
第8讲 Brown 运动的基本性质 65
8.1 白噪声 65
8.2 高维 Brown 运动 67
8.3 Brown 运动的鞅和 Markov 性质 68
第9讲 Brown 运动的轨道性质 71
9.1 Brown 运动轨道的 H.lder 连续性 71
9.2 处处变差无界性 74
第10讲 Brown 运动的构造 78
10.1 Haar 函数和 Schauder 函数 78
10.2 Brown 运动的构造 81
第2部分 随机积分和随机微分方程
第11讲 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分 89
11.1 光滑被积函数的 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分 89
11.2 稠定有界线性算子的保范延拓 91
11.3 Paley-Wiener-Zygmund 随机积分的定义 92
第12讲 *WdW 94
12.1 平方变差 94
12.2 Riemann 和的 L2 收敛性 97
第13讲 It？随机积分及其性质 102
13.1 非预测 σ-域流和相适应随机过程 102
13.2 简单随机过程的 It？积分 103
13.3 一般随机过程的 It？积分 106
13.4 It？不定积分 108
第14讲 It？乘积法则和 It？链式法则; Fokker-Planck 方程 112
14.1 It？乘积法则 112
14.2 It？链式法则 116
14.3 Fokker-Planck 方程 118
第15讲 多元 It？随机积分和随机微分方程 121
15.1 多元 It？随机积分 121
15.2 多元 It？乘积法则和 It？链式法则 122
15.3 随机微分方程的概念 124
第16讲 用 It？法则求解随机微分方程 127
16.1 线性随机微分方程的例子和解的公式 127
16.2 一类特殊形式的非线性随机微分方程的可解性 134
16.3 变量替换求解非线性随机微分方程 136
第17讲 随机微分方程初值问题强解的专享性和存在性 137
17.1 专享性 137
17.2 存在性 139
17.3 连续依赖性 146
第18讲 线性随机微分方程 148
第19讲 Stratonovich 随机积分 153
19.1 白噪声的光滑逼近 153
19.2 Stratonovich 随机积分和转换公式 154
第20讲 关于 Poisson 过程的随机积分 158
20.1 Poisson 过程及其随机积分 158
20.2 链式法则 160
20.3 Poisson 随机积分的鞅的性质 161
20.4 定理 1 的证明 164
第21讲 Poisson 过程驱动的随机微分方程 171
21.1 解的存在性和专享性定理 171
21.2 线性 Poisson 随机微分方程 177
第3部分 随机微分方程的应用及数值计算
第22讲 停时和 Feynman-Kac 公式 183
22.1 停时 183
22.2 停时作为积分限的 It？随机积分 186

22.3 带停时的 It？公式 186
22.4 Feynman-Kac 公式 188
第23讲 很优停时与动态规划 192
23.1 很优停时问题 192
23.2 价值函数的求解 193
23.3 利用价值函数求解很优停时 195
第24讲 传染病的随机微分方程模型 197
24.1 确定性模型 197
24.2 带随机效应的传染病模型 200
第25讲 期权定价理论 203
25.1 期权的定义、分类和定价问题 203
25.2 Black-Scholes 公式 204
25.3 Black-Scholes 公式的推广: 支付红利情形 209
25.4 Black-Scholes 方程的数值求解: 差分格式 211
第26讲 随机微分方程的数值求解方法 215
26.1 显式数值方法 215
26.2 隐式数值方法 218
26.3 Brown 运动及随机微分方程的数值模拟 219
参考文献 222
索引 224