代数拓扑及其应用

为了应对一种特殊的大型复杂数据集的挑战，拓扑数据分析（TDA）作为应用代数拓扑研究领域的一个分支，在过去几年中对分析处理复杂系统和大数据等领域产生了重大影响。然而在TDA出现前的几十年，应用代数拓扑研究的另一个数据分析子领域已得到发展，它被称为Q分析。据我们所了解，目前市场上很少有著作能够涵盖上述两个应用代数拓扑的子领域。因此，本书的主旨是引入应用代数拓扑学的数据工具，而且它涵盖了上述两个子领域，强调并实现代数拓扑学方法在复杂系统和大数据上的应用。

英国数学与应用学会会士，美国Mathematical Reviews评论员，主持10多项国家、省部级课题

目录
第1章 绪论 1
1.1 应用代数拓扑:单纯复形 1
1.2 案例背景:复杂系统 3
本章习题 8
参考文献 8
第一部分 单纯复形及其性质
第2章 代数拓扑中的单纯复形 15
2.1 单纯复形的定义 15
2.2 单纯复形的性质 23
2.2.1 同调 24
2.2.2 Q分析 41
2.3 总结 48
本章习题 49
推荐练习 50
参考文献 50
第3章 构造单纯复形 53
3.1 提取复杂网络的拓扑结构 53
3.2 由度量空间数据构建单纯复形 59
3.3 由时间序列构建单纯复形 65
3.3.1 相空间重构方法 66
3.3.2 可视图方法 69
3.4 总结 71
本章习题 72
推荐练习 73
参考文献 73
第二部分 指导性示例
第4章 代数拓扑方法应用 77
4.1 社会关系的代数拓扑描述 78
4.1.1 社会网络的高阶结构 78
4.1.2 模型描述 81
4.1.3 仿真结果 82
4.1.4 注记 85
推荐练习 85
4.2 复杂网络的代数拓扑描述 86
4.2.1 网络描述 86
4.2.2 邻域复形 87
4.2.3 集团复形 89
4.2.4 共轭集团复形 90
4.2.5 组合拉普拉斯算子 91
4.2.6 小结 95
推荐练习 95
4.3 相空间中的拓扑性质 96
4.3.1 Ikeda映射 96
4.3.2 R.ssler系统 98
4.3.3 数据收缩 99
4.3.4 相空间的持续同调性 99
4.3.5 小结 103
推荐练习 103
4.4 时间序列的代数拓扑描述 104
4.4.1 R.ssler 系统的状态分类 104
4.4.2 可视图的邻域复形 104
4.4.3 注记 108
推荐练习 108
4.5 逾渗和同调性 108
4.5.1 广义随机网络 109
4.5.2 逾渗与复杂网络 110
4.5.3 攻击下的拓扑同调性变化 112
4.5.4 注记 117
推荐练习 117
参考文献 118
第5章 具体应用案例探讨 121
5.1 构造实际数据单纯复形示例 121
5.1.1 构建单纯复形 121
5.1.2 多级积分熵 124
5.1.3 结果分析 125
5.1.4 小结 128
推荐练习 129
5.2 复杂网络的高阶传播 129
5.2.1 复杂网络的高阶耦合社会传播 129
5.2.2 复杂网络的高阶疾病传播 135
5.2.3 小结 139
推荐练习 140
5.3 这些应用可以结合在一起吗？ 140
参考文献 142
回顾核心要点 143
文献清单 146