满分线性代数辅导讲义

本书是为准备考研的学生复习线性代数而编写的一本辅导讲义，由编者近年来的考研强化辅导班笔记改写而成。本书可供考研科目为数学一、数学二、数学三的考生使用。全书分为六章，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量及二次型等内容，书末附有习题参考答案。
本书结构清晰，内容翔实，可作为考研学子的辅导教材。

第1章 行列式
1.1 考情分析
1.1.1 2023版考研大纲
1.1.2 行列式的特点
1.1.3 考研真题分析
1.2 行列式知识结构网络图
1.3 基本内容和重要结论
1.3.1 1阶、2阶和3阶行列式
1.3.2 排列及排列的逆序数
1.3.3 n阶行列式的定义
1.3.4 行列式的性质
1.3.5 余子式、代数余子式和k阶子式
1.3.6 行列式按行（列）展开定理
1.3.7 行列式展开定理的推论
1.3.8 特殊行列式的计算
1.3.9 克莱姆法则（行列式的应用）
1.3.10 克莱姆法则相关结论
1.3.11 行列式与矩阵的区别
1.3.12 方阵的行列式公式
1.3.13 余子式和代数余子式问题
1.3.14 行列式与矩阵的秩
1.3.15 行列式与特征值
1.3.16 其他结论
1.4 典型例题分析
1.5 习题演练
第2章 矩阵
2.1 考情分析
2.1.1 2023版考研大纲
2.1.2 矩阵的特点
2.1.3 考研真题分析
2.2 知识结构网络图
2.2.1 矩阵知识结构网络图
2.2.2 矩阵的秩知识结构网络图
2.3 基本内容和重要结论
2.3.1 矩阵的概念
2.3.2 矩阵的线性运算
2.3.3 矩阵乘法运算
2.3.4 方阵的幂运算
2.3.5 方阵的行列式
2.3.6 矩阵的转置
2.3.7 矩阵的逆
2.3.8 伴随矩阵
2.3.9 矩阵A可逆的充分必要条件
2.3.10 矩阵的初等变换
2.3.11 初等矩阵
2.3.12 矩阵秩的概念
2.3.13 矩阵秩的性质及公式
2.3.14 矩阵的等价与秩
2.3.15 分块矩阵及其运算
2.3.16 分块矩阵的应用举例
2.3.17 矩阵运算规律
2.3.18 矩阵运算公式
2.3.19 对角矩阵运算公式
2.3.20 特殊分块矩阵运算公式
2.3.21 分块矩阵秩的公式
2.4 典型例题分析
2.5 习题演练
第3章 向量
3.1 考情分析
3.1.1 2023版考研大纲
3.1.2 向量的特点
3.1.3 考研真题分析
3.2 向量知识结构网络图
3.3 基本内容和重要结论
3.3.1 向量及向量线性表示的概念
3.3.2 线性方程组与向量组线性表示定理
3.3.3 向量组线性相关和线性无关的定义
3.3.4 用线性方程组的解判定向量组线性相关性定理
3.3.5 向量组线性相关性的形象理解定理
3.3.6 向量组的部分与整体定理
3.3.7 向量组的延伸与收缩定理
3.3.8 一个向量与一个向量组定理
3.3.9 特殊向量组的线性相关性定理
3.3.10 向量组的极大线性无关组及秩
3.3.11 用秩判断向量组的线性相关性定理
3.3.12 “三秩相等”定理
3.3.13 向量组的等价及与矩阵等价的区别
3.3.14 向量组间线性表示与秩的关系定理
3.3.15 向量组的“紧凑性”与“臃肿性”定理
3.3.16 向量组极大无关组的求解及由极大无关组线性表示其余向量的方法
3.3.17 向量的内积、长度和夹角
3.3.18 向量组线性相关性的几何意义
3.3.19 线性无关向量组的正交规范化
3.3.20 正交矩阵
3.3.21 （仅数学一要求）向量空间及子空间
3.3.22 （仅数学一要求）向量空间的基、维数与坐标
3.3.23 （仅数学一要求）n维向量空间Rn的基
3.3.24 （仅数学一要求）基变换（过渡矩阵）及坐标变换
3.4 典型例题分析
3.5 习题演练
第4章 线性方程组
4.1 考情分析
4.1.1 2023版考研大纲
4.1.2 线性方程组的特点
4.1.3 考研真题分析
4.2 线性方程组知识结构网络图
4.3 基本内容和重要结论
4.3.1 线性方程组基本概念
4.3.2 线性方程组与行列式
4.3.3 线性方程组与矩阵
4.3.4 线性方程组与秩
4.3.5 线性方程组与向量组
4.3.6 解向量与自由变量
4.3.7 齐次线性方程组解的性质及解的结构
4.3.8 非齐次线性方程组解的性质及解的结构
4.3.9 方程组的公共解
4.3.10 方程组的同解
4.3.11 从AB=O中可以得到的结论
4.3.12 线性方程组的几何意义（仅数学一要求）
4.4 典型例题分析
4.5 习题演练
第5章 矩阵的特征值和特征向量
5.1 考情分析
5.1.1 2023版考研大纲
5.1.2 特征值和特征向量的特点
5.1.3 考研真题分析
5.2 特征值与特征向量知识结构网络图
5.3 基本内容和重要结论
5.3.1 特征值与特征向量的概念
5.3.2 矩阵的特征值和特征向量命题大汇总
5.3.3 特征值的性质及定理
5.3.4 实对称矩阵的特征值与特征向量
5.3.5 相似矩阵的定义及性质
5.3.6 矩阵的相似对角化
5.4 典型例题分析
5.5 习题演练
第6章 二次型
6.1 考情分析
6.1.1 2023版考研大纲
6.1.2 二次型的特点
6.1.3 考研真题分析
6.2 二次型知识结构网络图
6.3 基本内容和重要结论
6.3.1 二次型的概念
6.3.2 矩阵的合同
6.3.3 二次型的标准形及规范形
6.3.4 正交变换法化二次型为标准形
6.3.5 配方法化二次型为标准形
6.3.6 惯性定理
6.3.7 正定
6.3.8 等价、相似与合同的判定与关系
6.3.9 二次型的几何意义（仅数学一要求）
6.4 典型例题分析
6.5 习题演练
附录A 参考答案
附录B 近期新例题讲解
参考文献