计算方法（第4版）

本书比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书分11章，主要内容有：引论、计算方法的数学基础、MATLAB编程基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算。 书后附有上机实验题目。可从华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）免费下载的教学资源包括：电子教案、各章习题解答和模拟试题。 本书可作为高等学校计算机、数据科学与大数据、人工智能及电子信息类等相关专业本科和研究生的教材使用，也可供从事科学与工程计算的科技工作者和研究人员参考。

第1章 引论 1 1.1 从数学到计算 1 1.2 误差理论初步 5 1.2.1 误差的来源 5 1.2.2 误差的度量 6 1.2.3 误差的传播 9 1.2.4 数值稳定性 11 1.3 数值计算的原则 11 1.3.1 避免两个相近数相减 12 1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数 12 1.3.3 要防止大数“吃掉”小数 13 1.3.4 简化计算步骤 13 1.3.5 使用数值稳定的算法 14 本章小结 16 习题1 16 第2章 计算方法的数学基础 18 2.1 微积分的有关概念和定理 18 2.1.1 数列与函数的极限 18 2.1.2 连续函数的性质 20 2.1.3 罗尔定理和微分中值定理 20 2.1.4 积分加权平均值定理 21 2.2 微分方程的有关概念和定理 22 2.2.1 基本概念 22 2.2.2 初值问题解的存在专享性 23 2.3 线性代数的有关概念和定理 23 2.3.1 线性相关和线性无关 23 2.3.2 方阵及其初等变换 25 2.3.3 线性方程组解的存在专享性 27 2.3.4 特殊矩阵 28 2.3.5 方阵的逆及其运算性质 29 2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质 31 2.3.7 对称正定矩阵 33 2.3.8 对角占优矩阵 34 2.3.9 向量的内积 35 2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数 36 2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限 40 本章小结 41 习题2 41 第3章 MATLAB编程基础 43 3.1 MATLAB简介 43 3.2 MATLAB R2022b的工作环境 45 3.2.1 工具箱 45 3.2.2 命令行窗口 48 3.2.3 工作区 48 3.2.4 当前文件夹 49 3.3 MATLAB的变量、常量和数据类型 49 3.3.1 常量 49 3.3.2 变量 50 3.3.3 数据类型 50 3.4 MATLAB的数值运算 51 3.4.1 向量运算 51 3.4.2 矩阵运算 53 3.5 MATLAB的符号运算 57 3.5.1 字符串运算 57 3.5.2 符号表达式运算 58 3.5.3 符号矩阵运算 61 3.5.4 符号微积分运算 62 3.5.5 符号方程求解 64 3.6 MATLAB的图形可视化 65 3.6.1 二维图形绘制 65 3.6.2 三维图形绘制 67 3.7 MATLAB程序设计 67 3.7.1 MATLAB的程序控制结构 67 3.7.2 MATLAB文件 70 3.7.3 MATLAB程序调试方法 70 3.8 MATLAB与Python 73 本章小结 73 习题3 73 第4章 方程求根 75 4.1 引言 75 4.2 二分法 76 4.3 迭代法 78 4.3.1 不动点迭代 78 4.3.2 迭代法的收敛性 79 4.4 牛顿迭代法 85 4.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义 85 4.4.2 牛顿迭代公式的收敛性 85 4.5 弦截法 89 4.6 算法实现 90 4.6.1 MATLAB程序实现 90 4.6.2 MATLAB函数实现 92 本章小结 93 习题4 93 第5章 解线性方程组的直接法 96 5.1 引言 96 5.2 高斯消去法 97 5.2.1 顺序高斯消去法 97 5.2.2 主元素高斯消去法 101 5.2.3 高斯-约当消去法 103 5.3 矩阵三角分解法 105 5.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解法 105 5.3.2 直接三角分解法 106 5.4 解三对角线性方程组的追赶法 109 5.5 误差分析 112 5.5.1 病态方程组与条件数 112 5.5.2 病态方程组的解法 115 5.6 算法实现 116 5.6.1 MATLAB程序实现 116 5.6.2 MATLAB函数实现 120 本章小结 121 习题5 122 第6章 解线性方程组的迭代法 124 6.1 引言 124 6.2 雅可比迭代法 125 6.3 高斯-塞德尔迭代法 127 6.4 迭代法的收敛性 128 6.5  算法实现 135 6.5.1  MATLAB程序实现 135 6.5.2  MATLAB函数实现 138 本章小结 139 习题6 140 第7章 函数插值 142 7.1 引言 142 7.1.1 插值问题 142 7.1.2 插值多项式的存在专享性 143 7.2 拉格朗日插值 144 7.2.1 线性插值与抛物插值 144 7.2.2 拉格朗日插值多项式 146 7.2.3 插值余项与误差估计 147 7.3 牛顿插值 151 7.4 埃尔米特插值 154 7.5 分段低次插值 156 7.5.1 高次插值与龙格现象 156 7.5.2 分段线性插值 157 7.5.3 分段三次埃尔米特插值 159 7.6 样条插值 161 7.6.1 三次样条插值函数 161 7.6.2 三次样条插值函数的求法 162 7.7 离散数据的曲线拟合 165 7.7.1 曲线拟合问题 165 7.7.2 多项式拟合 166 7.8 算法实现 168 7.8.1 MATLAB程序实现 168 7.8.2 MATLAB函数实现 170 本章小结 173 习题7 174 第8章 数值积分与数值微分 177 8.1 引言 177 8.1.1 数值积分的必要性 177 8.1.2 数值积分的基本思想 178 8.1.3 代数精度 178 8.1.4 插值型求积公式 180 8.2 牛顿-柯特斯求积公式 181 8.2.1 牛顿-柯特斯求积公式的导出 181 8.2.2 牛顿-柯特斯求积公式的误差估计 184 8.3 复合求积公式 186 8.3.1 复合梯形求积公式 187 8.3.2 复合辛普生求积公式 187 8.4 外推算法与龙贝格算法 190 8.4.1 变步长的求积公式 190 8.4.2 外推算法 191 8.4.3 龙贝格求积公式 192 8.5 数值微分 195 8.5.1 中点公式 195 8.5.2 插值型微分公式 196 8.6 算法实现 197 8.6.1 MATLAB程序实现 197 8.6.2 MATLAB函数实现 200 本章小结 203 习题8 203 第9章 常微分方程初值问题的数值解法 206 9.1 引言 206 9.2 欧拉公式 207 9.2.1 欧拉公式及其意义 207 9.2.2 欧拉公式的变形 208 9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶 211 9.4 龙格-库塔方法 214 9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想 214 9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导 214 9.4.3 经典四阶龙格-库塔方法 217 9.5 单步法的收敛性和稳定性 219 9.5.1 单步法的收敛性 219 9.5.2 单步法的稳定性 222 9.6 算法实现 224 9.6.1 MATLAB程序实现 224 9.6.2 MATLAB函数实现 226 本章小结 230 习题9 230 附录A 计算方法实验 232 实验1 方程求根 233 实验2  解线性方程组的直接法 234 实验3 解三对角线性方程组的追赶法 235 实验4 解线性方程组的迭代法 236 实验5 插值问题 237 实验6 数值积分 238 实验7 数值微分 239 实验8 求解常微分方程的初值问题 240 参考文献 242