线性代数高级教程 矩阵理论及应用

本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括：向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等。此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考。
本书可以作为高等院校数学专业或理工科其他专业学生的线性代数教材，也可以作为工程技术人员的自学教材或参考资料。

斯蒂芬·拉蒙·加西亚（Stephan Ramon Garcia），美国波莫纳学院数学教授，美国数学学会会士。他是4本书的作者，并发表了超过80篇论文。他的研究兴趣包括算子理论、复变量、矩阵分析、数论和离散几何。

译者序
前言
记号
第0章 预备知识
0.1 函数与集合
0.2 纯量
0.3 矩阵
0.4 线性方程组
0.5 行列式
0.6 数学归纳法
0.7 多项式
0.8 多项式与矩阵
0.9 问题
0.10 一些重要的概念
第1章 向量空间
1.1 什么是向量空间
1.2 向量空间的例子
1.3 子空间
1.4 线性组合与生成空间
1.5 子空间的交、和以及直和
1.6 线性相关与线性无关
1.7 问题
1.8 注记
1.9 一些重要的概念
第2章 基与相似性
2.1 什么是基
2.2 维数
2.3 基表示与线性变换
2.4 基变换与相似性
2.5 维数定理
2.6 问题
2.7 一些重要的概念
第3章 分块矩阵
3.1 行与列的分划
3.2 秩
3.3 分块分划与直和
3.4 分块矩阵的行列式
3.5 换位子与Shoda定理
3.6 Kronecker乘积
3.7 问题
3.8 注记
3.9 一些重要的概念
第4章 内积空间
4.1 毕达哥拉斯定理
4.2 余弦法则
4.3 平面中的角与长度
4.4 内积
4.5 内积导出的范数
4.6 赋范向量空间
4.7 问题
4.8 注记
4.9 一些重要的概念
第5章 标准正交向量
5.1 标准正交组
5.2 标准正交基
5.3 Gram-Schmidt方法
5.4 Riesz表示定理
5.5 基表示
5.6 线性变换与矩阵的伴随
5.7 Parseval等式与Bessel不等式
5.8 Fourier级数
5.9 问题
5.10 注记
5.11 一些重要的概念
第6章 酉矩阵
6.1 内积空间中的等距
6.2 酉矩阵
6.3 置换矩阵
6.4 Householder矩阵与秩1射影
6.5 QR分解
6.6 上Hessenberg矩阵
6.7 问题
6.8 注记
6.9 一些重要的概念
第7章 正交补与正交射影
7.1 正交补
7.2 相容线性方程组的极小范数解
7.3 正交射影
7.4 很好逼近
7.5 不相容线性方程组的最小平方解
7.6 不变子空间
7.7 问题
7.8 注记
7.9 一些重要的概念
第8章 特征值、特征向量与几何重数
8.1 特征值-特征向量对
8.2 每个方阵有一个特征值
8.3 有多少个特征值
8.4 特征值在何处
8.5 特征向量与交换矩阵
8.6 实矩阵的实相似
8.7 问题
8.8 注记
8.9 一些重要的概念
第9章 特征多项式与代数重数
9.1 特征多项式
9.2 代数重数
9.3 相似与特征值重数
9.4 对角化与特征值重数
9.5 可对角化矩阵的函数计算
9.6 换位集
9.7 AB与BA的特征值
9.8 问题
9.9 注记
9.10 一些重要的概念
第10章 酉三角化与分块对角化
10.1 Schur三角化定理
10.2 Cayley-Hamilton定理
10.3 极小多项式
10.4 线性矩阵方程与分块对角化
10.5 交换矩阵与三角化
10.6 特征值调节与Google矩阵
10.7 问题
10.8 注记
10.9 一些重要的概念
第11章 Jordan标准型
11.1 Jordan块与Jordan矩阵
11.2 Jordan型的存在性
11.3 Jordan型的专享性
11.4 Jordan标准型
11.5 微分方程与Jordan标准型
11.6 收敛的矩阵
11.7 幂有界矩阵与Markov矩阵
11.8 矩阵与其转置阵的相似性
11.9 AB与BA的可逆Jordan块
11.10 矩阵与其复共轭矩阵的相似性
11.11 问题
11.12 注记
11.13 一些重要的概念
第12章 正规矩阵与谱定理
12.1 正规矩阵
12.2 谱定理
12.3 偏离正规性的亏量
12.4 Fuglede-Putnam定理
12.5 循环矩阵
12.6 一些特殊的正规矩阵类
12.7 正规矩阵与其他可对角化矩阵的相似性
12.8 正规性的某些特征
12.9 谱分解
12.10 问题
12.11 注记
12.12 一些重要的概念
第13章 半正定矩阵
13.1 半正定矩阵
13.2 半正定矩阵的平方根
13.3 Cholesky分解
13.4 二次型的同时对角化
13.5 Schur乘积定理
13.6 问题
13.7 注记
13.8 一些重要的概念
第14章 奇异值分解与极分解
14.1 奇异值分解
14.2 紧致奇异值分解
14.3 极分解
14.4 问题
14.5 注记
14.6 一些重要的概念
第15章 奇异值与谱范数
15.1 奇异值与逼近
15.2 谱范数
15.3 奇异值与特征值
15.4 谱范数的上界
15.5 伪逆阵
15.6 谱条件数
15.7 复对称阵
15.8 幂等阵
15.9 问题
15.10 注记
15.11 一些重要的概念
第16章 交错与惯性
16.1 Rayleigh商
16.2 Hermite阵之和的特征值交错
16.3 加边Hermite阵的特征值交错
16.4 Sylvester判别法
16.5 Hermite阵的对角元素与特征值
16.6 Hermite阵的*相合与惯性
16.7 Weyl不等式
16.8 正规矩阵的*相合与惯性
16.9 问题
16.10 注记
16.11 一些重要的概念
附录A 复数
参考文献
索引