数值分析

本书介绍现代科学与工程计算中常见的数值计算方法及理论。全书内容包括：数值计算的误差和基本原则、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程(组)的数值解法、矩阵特征值问题的数值解法、插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分与数值微分和常微分方程初值问题的数值解法。本书既注重数值计算方法及理论，又注重数值计算方法的实用性，主要算法都给出了数值实例和Python程序实现，在书末以二维码的形式呈现，感兴趣的读者可以下载源代码进行学习。每章章末配备了适量的练习题和上机实验题，书末附有部分习题的参考答案。本书可作为普通高等学校理工科专业高年级本科学生或低年级研究生学习数值分析或数值计算方法课程的教材，也可以作为从事科学与工程计算的科研及技术人员的参考书

四川省海外高层次留学人才，四川省学术技术带头人后备人选。主要从事数值代数及应用方面的教学与研究工作；主持和参与科研项目12项，其中国家自然科学基金3项，省级项目2项；曾获部省级科技进步二、三等奖各1项；兼任《美国数学评论》评论员，《德国数学文摘》评论员

前言
第1章 绪论
1.1 数值分析的研究对象、任务及特点1
1.1.1 科学计算、计算数学与数值分析1
1.1.2 数值分析的研究对象及特点2
1.2 数值计算的误差3
1.2.1 误差来源与分类3
1.2.2 误差与有效数字4
1.2.3 误差估计6
1.3 数值计算的若干原则8
1.4 常用数值计算软件简介13
习题1 14
实验1 15
第2章 线性方程组的直接解法16
2.1 高斯消元法17
2.2 追赶法20
2.3 直接三角分解法23
2.3.1 杜利特尔法23
2.3.2 列主元杜利特尔法30
2.3.3 改进的平方根法32
习题2 33
实验2 34
第3章 线性方程组的迭代解法36
3.1 迭代解法的基本概念36
3.1.1 向量范数和矩阵范数36
3.1.2 向量序列与矩阵序列的极限41
3.1.3 迭代解法的构造及其收敛性42
3.2 几种常见的迭代解法44
3.2.1 雅可比迭代法44
3.2.2 高斯-赛德尔迭代法46
3.2.3 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法的收敛性47
3.3 松弛迭代解法及收敛性50
3.3.1 松弛迭代解法50
3.3.2 松弛迭代解法的收敛性52
3.4 共轭梯度法与预处理共轭梯度法54
3.4.1 共轭梯度法54
3.4.2 预处理共轭梯度法61
习题3 64
实验3 66
第4章 非线性方程(组)的数值解法68
4.1 非线性方程求根与二分法68
4.2 不动点迭代法及其收敛性73
4.2.1 不动点与不动点迭代法73
4.2.2 不动点迭代法的收敛性75
4.2.3 迭代收敛的加速方法78
4.3 牛顿迭代法84
4.3.1 牛顿迭代法及其收敛性84
4.3.2 简化牛顿迭代法与牛顿下山法91
4.3.3 重根情形94
4.4 弦截法与抛物线法95
4.4.1 弦截法95
4.4.2 抛物线法97
4.5 非线性方程组的数值解法99
4.5.1 不动点迭代法100
4.5.2 非线性方程组牛顿迭代法102
习题4 103
实验4 104
第5章 矩阵特征值与特征向量的计算106
5.1 特征值估计107
5.2 幂法与反幂法110
5.2.1 幂法110
5.2.2 反幂法118
5.3 正交变换与约化矩阵122
5.3.1 豪斯霍尔德变换123
5.3.2 吉文斯变换126
5.3.3 约化一般矩阵128
5.4 矩阵分解和QR算法133
5.4.1 QR算法135
5.4.2 带原点平移的QR算法139
习题5 140
实验5 143
第6章 插值法144
6.1 拉格朗日插值145
6.1.1 线性插值与抛物线插值145
6.1.2 拉格朗日插值多项式148
6.1.3 插值余项与误差估计149
6.2 牛顿插值152
6.2.1 差商及其性质152
6.2.2 牛顿插值多项式及其插值余项153
6.3 埃尔米特插值156
6.3.1 埃尔米特插值多项式156
6.3.2 埃尔米特插值余项158
6.4 分段低次插值160
6.4.1 龙格现象与分段线性插值160
6.4.2 分段三次埃尔米特插值163
6.5 三次样条插值164
6.5.1 三次样条函数165
6.5.2 三转角方法166
6.5.3 三弯矩方法168
习题6 172
实验6 174
第7章 函数逼近与曲线拟合175
7.1 很好逼近175
7.1.1 很好逼近与范数选取175
7.1.2 很好平方逼近及其计算179
7.2 正交化方法182
7.2.1 正交多项式的基本性质和表征方法182
7.2.2 常用正交多项式184
7.2.3 很好平方逼近的正交化方法188
7.3 曲线拟合191
7.3.1 最小二乘拟合191
7.3.2 曲线拟合的线性化方法195
7.4 傅里叶变换196
7.4.1 离散傅里叶变换197
7.4.2 快速傅里叶变换200
习题7 204
实验7 205
第8章 数值积分与数值微分207
8.1 插值型求积公式208
8.1.1 数值求积公式的构造及代数精度208
8.1.2 梯形求积公式210
8.1.3 辛普森求积公式212
8.1.4 牛顿-科茨求积公式214
8.1.5 求积公式的数值稳定性216
8.2 复化求积公式217
8.2.1 复化梯形公式217
8.2.2 复化辛普森公式219
8.3 龙贝格求积公式222
8.3.1 变步长的梯形公式222
8.3.2 龙贝格求积公式224
8.3.3 理查森外推加速法228
8.4 高斯求积公式229
8.4.1 高斯点229
8.4.2 高斯-勒让德公式231
8.5 数值微分233
8.5.1 插值型求导公式234
8.5.2 三次样条函数求导236
8.5.3 数值微分的外推算法236
习题8 238
实验8 239
第9章 常微分方程初值问题数值解法240
9.1 简单的数值方法241
9.1.1 欧拉法241
9.1.2 后退欧拉法243
9.1.3 梯形公式246
9.1.4 改进欧拉法247
9.2 龙格-库塔方法250
9.2.1 显式龙格-库塔方法的一般形式250
9.2.2 二阶显式龙格-库塔方法251
9.2.3 三阶与四阶显式龙格-库塔方法253
9.2.4 变步长的龙格-库塔方法256
9.3 单步法的收敛性与稳定性257
9.3.1 收敛性与相容性257
9.3.2 绝对稳定性和绝对稳定域260
9.4 线性多步法264
9.4.1 基于数值积分的构造方法264
9.4.2 基于泰勒展开的构造方法267
9.4.3 预测-校正方法271
9.5 线性多步法的收敛性和稳定性273
9.5.1 相容性与收敛性273
9.5.2 稳定性与绝对稳定性274
习题9 275
实验9 276
参考文献278
附录 APython基本语法281
A.1 输出函数(print)281
A.2 输入函数(input).281
A.3 注释282
A.4 变量282
A.5 基本数据类型283
A.6 类型转换函数284
A.7 运算符285
A.8 语句289
A.9 容器292
附录B 部分习题参考答案301