微分几何 第5版

本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第四版的基础上修订而成。这次再版主要修改了第四章§4中“完备曲面的比较定理”的证明，使读者进一步学习近代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景；补充了数学史料、拓展阅读类数字资源，以二维码或图标示意。
本书可供高等师范院校数学院系用作教材。

第一章 曲线论
§1 向量函数
1．1 向量函数的极限
1．2 向量函数的连续性
1．3 向量函数的微商
1．4 向量函数的泰勒（Taylor）公式
1．5 向量函数的积分
§2 曲线的概念
2．1 曲线的概念
2．2 光滑曲线曲线的正则点
2．3 曲线的切线和法平面
2．4 曲线的弧长自然参数
§3 空间曲线
3．1 空间曲线的密切平面
3．2 空间曲线的基本三棱形
3．3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式
3．4 空间曲线在一点邻近的结构
3．5 空间曲线论的基本定理
3．6 一般螺线

第二章 曲面论
§1 曲面的概念
1．1 简单曲面及其参数表示
1．2 光滑曲面曲面的切平面和法线
1．3 曲面上的曲线族和曲线网
§2 曲面的第一基本形式
2．1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长
2．2 曲面上两方向的交角
2．3 正交曲线族和正交轨线
2．4 曲面域的面积
2．5 等距变换
2．6 保角变换
§3 曲面的第二基本形式
3．1 曲面的第二基本形式
3．2 曲面上曲线的曲率
3．3 迪潘（Dupin）指标线
3．4 曲面的渐近方向和共轭方向
3．5 曲面的主方向和曲率线
3．6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
3．7 曲面在一点邻近的结构
3．8 高斯曲率的几何意义
§4 直纹面和可展曲面
4．1 直纹面
4．2 可展曲面
4．3 线汇
§5 曲面论的基本定理
5．1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号
5．2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式
5．3 曲面论的基本定理
§6 曲面上的测地线
6．1 曲面上曲线的测地曲率
6．2 曲面上的测地线
6．3 曲面上的半测地坐标网
6．4 曲面上测地线的短程性
6．5 高斯一波涅（Gauss-Bonnet）公式
6．6 曲面上向量的平行移动
6．7 极小曲面
§7 常高斯曲率的曲面
7．1 常高斯曲率的曲面
7．2 伪球面
7．3 罗氏几何
……

第三章 外微分形式和活动标架
第四章 整体微分几何初步

名词索引