数值计算方法理论与典型例题选讲(第2版)

本书是为理工类大学本科课程“数值分析”和“计算方法”编写的教材与课外自学指导两用书，主要内容包括引言、插值法、线性方程组的直接与迭代解法、方程求根、数据拟合与函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、矩阵特征值与特征向量问题。此外，为了兼顾学生能力的培养和考试技能的提高，并帮助其合理掌握学习重点，《数值计算方法理论与典型例题选讲(第二版)》附录中含：MATLAB程序运行效率的提高方法、上机实习、非数学专业“计算方法”考试样卷3套、数学专业“数值分析”考试样卷3套。标题中打*号的内容为选读内容，非数学类专业的读者可略过。本书可作为理工类大学数学及其相关专业本科生和研究生“（数值）计算方法”课程的参考书和自学教材，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考.

第二版前言
第一版前言
第1章引言1
1.1误差、有效数字与机器数系1
1.1.1数值计算方法简介*1
1.1.2误差的概念3
1.1.3误差的来源与分类*4
1.1.4有效数字6
1.1.5机器数系*7
1.2误差的传播与防范措施8
1.2.1误差的传播机制8
1.2.2防止大数吃小数10
1.2.3防止计算过程数据溢出*12
1.2.4防止两个相近的数做减法13
1.2.5防止用0做除数*14
1.2.6简化计算步骤15
1.2.7用稳定的数值格式16
1.3典型例题分析*17
第2章插值法19
2.1插值问题19
2.1.1基本概念19
2.1.2插值多项式的存在性与唯一性19
2.2Lagrange插值20
2.2.1Lagrange插值多项式20
2.2.2插值余项23
2.2.3典型例题分析23
2.3差商与Newton插值25
2.3.1差商的概念与性质25
2.3.2Newton插值多项式27
2.3.3典型例题分析29
2.4差分与等距节点插值31
2.4.1差分及其性质31
2.4.2等距节点插值公式32
2.4.3典型例题分析33
2.5Hermite(埃尔米特)插值*35
2.5.1Hermite插值多项式的构造35
2.5.2典型例题分析36
2.6三次样条插值37
2.6.1高次插值的误差分析与Runge(龙格)现象37
2.6.2分段插值39
2.6.3三次样条插值函数39
2.6.4三次样条插值函数的构造方法40
2.6.5三次样条插值的误差估计和统一表达式43
2.6.6典型例题分析44
第3章线性方程组的直接解法47
3.1Gauss消元法47
3.1.1三角形方程组的解法47
3.1.2求线性代数方程组的Gauss消元法49
3.1.3Gauss消元法的执行条件51
3.1.4列主元消元法53
3.1.5全主元消元法*54
3.1.6典型例题分析56
3.2Gauss-Jordan(高斯-若尔当)消元法与矩阵求逆*57
3.2.1Gauss-Jordan消元法57
3.2.2用Gauss-Jordan消元法求逆矩阵59
3.2.3典型例题分析60
3.3矩阵分解61
3.3.1Gauss消元法的矩阵解释61
3.3.2矩阵LU分解的紧凑格式与解方程组的Doolittle方法63
3.3.3正定阵的Doolittle分解67
3.3.4Cholesky(楚列斯基)分解与解方程组的平方根法69
3.3.5LDLT分解与求方程组的改**方根法70
3.3.6带列主元的三角分解*72
3.3.7典型例题分析73
3.4追赶法76
3.4.1求三对角方程组的追赶法77
3.4.2典型例题分析80
3.5向量范数81
3.5.1向量范数的概念与性质81
3.5.2向量范数的等价性和一致连续性*82
3.5.3典型例题分析84
3.6矩阵范数85
3.6.1方阵的范数85
3.6.2复空间上的矩阵范数*88
3.6.3典型例题分析90
3.7方程组的误差分析与病态改善90
3.7.1矩阵的条件数与病态性90
3.7.2方程组的摄动分析93
3.7.3Gauss消元法的浮点误差分析*95
3.7.4方程组的病态检测与条件预优法*97
第4章方程求根100
4.1方程根的存在性、唯一性与有根区间*100
4.1.1方程根的概念与存在唯一性100
4.1.2有根区间的确定方法101
4.1.3典型例题分析101
4.2二分法102
4.2.1求非线性方程的二分法102
4.2.2典型例题分析104
4.3Picard迭代法104
4.3.1Picard迭代法的构造104
4.3.2Picard迭代的收敛性105
4.3.3Picard迭代法敛散性的几何解释107
4.3.4Picard迭代的局部收敛性和误差估计108
4.3.5Picard迭代法的收敛速度与渐进误差估计109
4.3.6典型例题分析110
4.4Newton-Raphson迭代法112
4.4.1Newton-Raphson迭代法的构造112
4.4.2Newton法的收敛性113
4.4.3Newton法的改进*114
4.4.4求非线性方程组的Newton法*115
4.4.5典型例题分析116
4.5割线法118
4.5.1割线法与收敛性118
4.5.2典型例题分析120
4.6迭代加速方法121
4.6.1Aitken(艾特肯)加速法121
4.6.2Steffensen(斯特芬森)迭代法121
4.6.3其他加速技巧*122
4.6.4典型例题分析122
4.7代数方程求根算法123
4.7.1秦九韶算法在多项式求值中的应用123
4.7.2秦九韶算法在多项式求导数中的应用*124
4.7.3秦九韶算法在代数方程求根中的应用*126
4.7.4代数方程求根的劈因子法*126
4.7.5典型例题分析129
第5章线性方程组的迭代解法132
5.1迭代法的构造132
5.1.1迭代法的概念与一阶定常迭代法132
5.1.2Jacobi迭代法133
5.1.3Gauss-Seidel迭代法134
5.1.4典型例题分析136
5.2迭代法的收敛性137
5.2.1一阶定常迭代法的收敛性137
5.2.2Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代收敛性的判定*141
5.2.3迭代法的收敛速度143
5.2.4典型例题分析144
5.3逐次超松弛迭代法(SOR方法)147
5.3.1SOR迭代的构造147
5.3.2SOR方法的收敛性148
5.3.3相容次序与*佳松弛因子的选择*149
5.3.4典型例题分析150
第6章近似理论153
6.1矩阵的广义逆153
6.1.1Moore-Penrose(摩尔–彭罗斯)广义逆的定义与存在唯一性153
6.1.2Moore-Penrose广义逆的性质154
6.1.3典型例题分析155
6.2方程组的*小二乘解157
6.2.1方程组的*小二乘解157
6.2.2方程组的极小*小二乘解159
6.2.3典型例题分析160
6.3矩阵的正交分解161
6.3.1Gram-Schmidt正交化方法161
6.3.2矩阵的正交分解在求极小*小二乘解中的应用165
6.3.3Householder变换*165
6.3.4Householder变换在矩阵正交分解中的应用*167
6.3.5典型例题分析169
6.4矩阵的奇异值分解*173
6.4.1矩阵的奇异值分解与性质173
6.4.2典型例题分析176
6.5数据拟合177
6.5.1数据拟合法178
6.5.2典型例题分析179
6.6正交多项式181
6.6.1正交多项式的概念与性质181
6.6.2**类Chebyshev多项式的性质184
6.6.3Chebyshev正交多项式的应用简介*186
6.6.4典型例题分析190
6.7线性*小二乘问题193
6.7.1点集函数与线性*小二乘问题193
6.7.2正交多项式在数据拟合中的应用197
6.7.3典型例题分析198
6.8函数逼近199
6.8.1函数逼近问题199
6.8.2*佳一致逼近201
6.8.3*佳平方逼近204
6.8.4典型例题分析207
第7章数值积分与数值微分212
7.1Newton-Cotes(牛顿-科茨)型求积公式212
7.1.1中矩形公式和梯形公式212
7.1.2插值型求积公式213
7.1.3求积公式的代数精确度215
7.1.4Newton-Cotes型求积公式的构造与误差分析216
7.1.5几种低阶求积公式的余项219
7.1.6典型例题分析220
7.2复化求积法221
7.2.1复化梯形公式221
7.2.2复化Simpson公式与复化Cotes公式222
7.2.3区间逐次二分法*223
7.2.4典型例题分析224
7.3Romberg算法与自适应Simpson算法226
7.3.1复化求积公式的阶226
7.3.2Romberg算法226
7.3.3自适应Simpson法*229
7.3.4典型例题分析231
7.4Gauss型求积公式231
7.4.1Gauss型求积公式的概念231
7.4.2Gauss点233
7.4.3Gauss-Legendre公式234
7.4.4带权的Gauss型求积公式*236
7.4.5稳定性和收敛性*238
7.4.6典型例题分析239
7.5数值微分*240
7.5.1插值型求导公式240
7.5.2三次样条插值求导243
7.5.3典型例题分析243
第8章常微分方程数值解法245
8.1常微分方程初值问题与Euler法245
8.1.1初值问题解的存在唯一性*245
8.1.2Euler法与几何意义246
8.1.3一般单步法与构造248
8.1.4误差与差分格式的阶249
8.1.5典型例题分析250
……