改进傅里叶方法及其应用

本书引进的改进傅里叶级数，是在闭区间上可以一致收敛地逼近任意形式的拟光滑函数的级数。本书给出了：变系数线性常微分方程的通用求解方法(这里变系数可以是连续函数，也可以是间断的函数)；对具有各阶奇异点的奇异性方程(正则或非正则)给出了求解的原则；对几种常见的奇异常微分方程给出了详尽的求解过程和计算算例；完满地求解了两个典型的海洋动力学问题(海洋内波与地形的相互作用，风场作用下水气界面的稳定性分析)。
本书适合作为物理类学科理论研究工作者的参考书或工具书。

第1章 预备知识 1
1.1 改进傅里叶（Fourier）级数的引进 1
1.1.1 概念的引进 1
1.1.2 命题的证明 4
1.1.3 举例 6
1.2 非奇异线性常微分方程的求解（注释：引理1——相容性条件的引入，引理2——相对误差的引入） 9
附录A 14
附录B 相容性条件的引进——引理1 15
第2章 存在间断点的线性（二阶）常微分方程的求解 17
2.1 存在间断点的齐次方程的求解 17
2.1.1 0-阶导数项的系数为间断函数的方程的求解 17
2.1.2 1-阶导数项的系数为间断函数的方程的求解 21
2.1.3 2-阶导数项的系数为间断函数的方程的求解 26
2.2 存在间断点的非齐次方程的求解 31
第3章 奇异的线性常微分方程解的构建 36
3.1 奇异方程的非奇异解[注释：引理3（关于奇异解分类）的引进，引理4（关于约束条件）的引进] 36
附录A 43
附录B 44
3.2 1-阶奇点邻域内方程的奇异解[注释：引理5（关于重根讨论）的引进] 45
附录 58
3.3 2-阶奇点邻域内方程的奇异解 58
3.4 3-阶奇点邻域内方程的奇异解[注释：引理6（奇异阶次m确定原则）的引进] 61
附录 68
3.5 4-阶奇点邻域内方程的奇异解 70
附录A 81
附录B 83
3.6 5-阶奇点邻域内方程的奇异解 83
附录 94
第4章 几个常见方程的奇异解的求解算例 96
4.1 勒让德（Legendre）方程的解 96
4.1.1 Legendre方程在有界区间[0，1]上的解 96
附录 106
4.1.2 Legendre方程在半无界区域[1，∞）上的统一解（λ≠1） 107
附录 115
4.1.3 方程在半无界区域[1，∞）上的统一解（λ=1） 117
附录A 124
附录B 127
4.2 贝塞尔（Bessel）方程的解 128
4.2.1 Bessel方程在有界区间[0，x0]上的解 128
附录 135
4.2.2 Bessel方程在半无界区域[1，∞）上的解 135
附录 141
4.3 韦伯（Weber）方程的解 141
4.4 合流（confluent）Lame方程的解 149
4.4.1 confluent Lame方程在有界区间[0，1]上的统一解 149
附录A 156
附录B 156
4.4.2 confluent Lame方程在半无界区域[1，∞）上的统一解 157
附录A 167
附录B 167
附录C 169
4.5 马蒂厄（Mathieu）方程的解 169
4.5.1 变形Mathieu方程在有界区间上的解 170
4.5.2 变形Mathieu方程在半无界区域上的统一解 175
附录A 184
附录B 185
4.6 合流超几何［即库默尔（Kummer）］方程的求解 186
附录A 195
附录B 196
第5章 几个流体力学问题的化简与求解 198
5.1 海洋内波与海底地形的相互作用 198
5.2 水气界面剪切流的稳定性分析 211
附录A 240
附录B 240
附录C 241
附录D 242
参考文献 244
后记 246