组合数学

组合数学的研究对象是有限或可数的离散结构或模式，其目标之一就是在给定的准则下对结构或模式进行计数和枚举。因此，组合数学属于离散数学的范畴，是算法科学的数学基础。本书主要介绍组合计数技术，共八章，内容安排上紧紧围绕组合数学中三大计数技术——母函数、容斥原理和Pólya计数理论展开，具体包括基本计数技术、母函数及其应用、递推关系、特殊计数序列、容斥原理、Möbius反演及应用、鸽巢原理、Pólya计数理论，每章均配有丰富的例题和习题，部分典型的习题给出了答案和提示
本书可作为高等院校数学专业和计算机科学相关专业本科生和研究生学习组合数学的入门教材，主要知识点的层次安排既有浅显易懂的入门内容，也有一般化和深刻一般化的主题，适合不同层次的读者。

前言
符号说明
第1章 基本计数技术 1
1.1 图的基本概念 1
1.1.1 图的定义 1
1.1.2 图的连通性 3
1.1.3 图的同构 6
1.2 基本计数原理 7
1.2.1 分类计数原理 7
1.2.2 分步计数原理 10
1.2.3 对应计数原理 11
1.2.4 殊途同归原理 13
1.3 排列的计数 14
1.3.1 排列 14
1.3.2 重复排列 15
1.3.3 重集的排列 16
1.3.4 圆排列初步 20
1.4 组合的计数 20
1.4.1 组合 21
1.4.2 重复组合 21
1.4.3 重集的组合 23
1.4.4 不相邻的组合 24
1.5 组合数的性质 25
1.6 q多项式系数 31
1.7 排列的生成算法 37
1.7.1 字典序法 37
1.7.2 换位生成算法 40
1.7.3 逆序生成算法 42
1.8 组合的生成算法 44
1.8.1 基于二进制的算法 44
1.8.2 字典序法 46
1.8.3 旋转门算法 48
1.9 映射与排列的表示 51
1.9.1 映射的表示与计数 51
1.9.2 排列的表示与计数 55
1.9.3 排列的降序集 63
1.9.4 排列的树表示 64
1.9.5 排列的矩阵表示 67
习题 1 68
第2章 母函数及其应用 75
2.1 普通型母函数 75
2.2 指数型母函数 87
2.3 母函数的合成 99
2.4 多元母函数 112
2.5 整数的拆分 115
2.5.1 整数拆分的概念 116
2.5.2 无序拆分的表示 118
2.5.3 无序拆分与拆分数 119
2.5.4 各部分互异的拆分 124
2.5.5 受限的拆分 126
2.5.6 拆分数 p(n) 的性质 130
2.5.7 整数的完备拆分 139
习题 2 144
第 3 章 递推关系 148
3.1 递推关系的概念 148
3.2 线性常系数递推关系 151
3.3 一般递推关系 167
习题 3 176
第4章 特殊计数序列 180
4.1 Fibonacci 序列 180
4.2 Catalan 序列 182
4.3 Schr.der 序列 193
4.4 Motzkin 序列 203
4.5 Stirling 序列 207
4.6 一般反演序列 217
习题 4 218
第5章 容斥原理 226
5.1 容斥原理 226
5.2 符号形式 236
5.3 禁排问题 245
5.3.1 棋盘的概念 245
5.3.2 棋盘多项式 248
5.3.3 Ferrers 棋盘 256
习题 5 258
第 6 章 M.bius 反演及应用 261
6.1 问题引入 261
6.2 偏序集 263
6.3 偏序集的构造 284
6.4 关联代数 290
6.5 M.bius 反演 311
6.6 M.bius 反演的应用 316
6.6.1 Bn 上的应用 316
6.6.2 Dn 上的应用 321
6.6.3 Πn 上的应用 324
6.6.4 Fnq上的应用 327
习题 6 331
第7章 鸽巢原理 334
7.1 鸽巢原理：简单形式 334
7.2 鸽巢原理：一般形式 338
7.3 Ramsey 问题 340
7.4 Ramsey 类定理 347
习题 7 351
第8章 Pólya 计数理论 353
8.1 问题引入 353
8.2 关系、群及其性质 354
8.2.1 等价关系 355
8.2.2 群的概念和性质 355
8.2.3 子群及其判定 358
8.2.4 Lagrange 定理 360
8.2.5 群的同态与同构 362
8.3 置换群及其性质 363
8.4 Burnside 引理 370
8.5 Pólya 定理 377
8.6 置换群的循环指数 385
8.7 Pólya 定理的母函数形式 397
8.8 Pólya 定理的扩展 409
8.8.1 直和上的扩展 409
8.8.2 Cartes 积上的扩展 413
8.8.3 子集集上的扩展 415
8.8.4 de Bruijn 定理 419
习题 8 440
习题答案或提示 443
参考文献 459