组合分析方法及应用

第1章 鸽巢原理及其应用 1
1.1 鸽巢原理的简单形式 1
1.2 鸽巢原理在组合与数论上的应用 3
1.3 鸽巢原理的加强形式 5
1.4 问题探究 8
第2章 排列、组合与二项式系数 10
2.1 基本计数法则 10
2.2 集合的排列与组合 11
2.3 多重集的排列与组合 14
2.4 二项式系数与二项式定理 18
2.5 组合恒等式的组合意义 23
2.6 李善兰恒等式及其他 27
2.7 Newton 二项式定理 31
2.8 多项式的正规族表示 34
2.9 Cauchy 恒等式 40
2.10 Newton 差分公式 43
2.11 二项式定理的 Jensen 拓广 45
2.12 问题探究 51
第3章 容斥原理及其应用 54
3.1 容斥原理 54
3.2 排列中的不动点问题 60
3.3 秩为 k 的集合的排列问题 62
3.4 禁止元素半相邻的排列问题 64
3.5 有禁区的排列问题 68
3.6 问题探究 74
第4章 生成函数与递归关系 76
4.1 生成函数的定义与性质 76
4.2 多重集的 r-组合数 82
4.3 Snake Oil 方法 84
4.4 指数型生成函数与多重排列问题 88
4.5 二项式反演公式 91
4.6 常系数线性齐次递归关系的求解 94
4.7 常系数线性非齐次递归关系的求解 99
4.8 Catalan 数 104
4.9 Riordan 阵组合求和与 Cartier-Foata 常数项法 106
4.10 n 元集的 k 元子集中元素关系的计数问题 111
4.11 问题探究 117
第5章 二阶线性齐次递归序列 122
5.1 Fibonacci 序列 122
5.2 一般二阶线性齐次递归序列 126
5.3 二阶线性递归序列卷积型和及其相关性质 132
5.4 一类非齐次广义 Fibonacci 序列 Fn = Fn.1 + Fn.2 + r 的性质 137
5.5 一类广义 Fibonacci 序列与 Aitken 变换 141
5.6 广义 Fibonacci 序列的多重卷积和 143
5.7 一类递归序列的两项偶次幂和的乘积展开 149
5.8 问题探究 154
第6章 组合序列及其性质 157
6.1 两类 Stirling 数 157
6.2 Bernoulli-Euler 多项式与 Bernoulli-Euler 数 166
6.3 Bernoulli 数多重积的封闭表示 173
6.4 复合函数的 Gould 求导公式 175
6.5 恒等式与部分分式分解 177
6.6 包含 Bernoulli 数与 Fibonacci 数的恒等式 184
6.7 几类广义的 Bernoulli-Euler 数与多项式的进一步推广 188
6.8 Bernoulli 矩阵及其代数性质 191
6.9 广义 Aigner-Catalan-like 数及其应用 202
6.10 问题探究 212
第7章 组合反演公式及其应用 217
7.1 组合序列反演公式与矩阵逆 217
7.2 Gould-Hsu 反演公式 222
7.3 Pfaff-Saalschutz 求和公式与 Gould-Hsu 反演 228
7.4 Krattenthaler 一般反演公式 233
7.5 分拆多项式与 Faa di Bruno 公式 237
7.6 涉及不接近 Bell 分拆多项式的一类恒等式 246
7.7 Lagrange 反演公式 252
7.8 Lagrange 反演公式的应用 262
7.9 Stirling 数偶 266
7.10 问题探究 269
第8章 Calkin 恒等式及其交错形式 275
8.1 Ω 算子方法 275
8.2 Calkin 恒等式及其交错形式 278
8.3 Calkin 恒等式及其交错形式的组合证明 280
8.4 若干 Calkin 类型的恒等式 298
8.5 Calkin 恒等式及其交错形式的进一步拓广 314
8.6 问题探究 322
参考文献 323