抽象代数基础

抽象代数讲授的是十九世纪末到二十世纪代数学的主要成果，是现代数学的一个重要分支，是研究抽象的代数系统理论的一门近代学科。抽象代数的思想和方法不仅渗透到数学的各个分支中，它的结果应用到自然科学技术的许多方面。随着计算机和人工智能的发展，抽象代数理论得到了广泛的应用，已成为通讯、系统工程、计算机科学等领域的基本工具。 抽象代数以各种代数系统的结构为主要研究对象，是高等院校数学专业最重要的专业基础课之一，也是高等代数的后续代数类课程。本书介绍了代数系统常见的集合、群、环、域的基本理论和性质以及它们的一些应用。 本书是一本抽象代数的入门书籍，系统地介绍了抽象代数中的集合论、群论、环论和域论的相关知识。本书的第一章讲述了集合的运算以及分类的基本思想方法，给出了中国剩余定理。第二章讲述群的定义与一些常见的群，如循环群、置换群、二面体群等。第三章讲述了群的一些基本理论和构造，如正规子群、商群，群的同态和同构。第四章讲述环论和域论的基本概念和理论，包括环和域的定义及例子，理想、商环、环同态以及域的扩张理论。本书正文内容为英文，后附教学PPT，方便查阅核心内容。本书内容按照48课时设置，可作为教材，也适合初学者和自学者学习使用。

王艳华，上海财经大学数学学院教授、博士生导师，上海市工业与应用数学学会常务理事，上海市数学建模优秀教练员，上海市杨浦区第十五届政协委员，上海市杨浦区妇联理事，曾任杨浦区妇联挂职副主席。主要从事非交换代数的相关研究工作，美国华盛顿大学访问学者，在代数判别式、代数自同构群及代数的消去问题方面做出了重要的工作，共发表论文三十余篇，主持国家自然科学基金和上海市基金项目多项。主讲本科生课程《高等代数》、《抽象代数》、《线性代数》、《数学模型》，以及研究生课程《基础代数》、《代数学》、《代数理论及其应用》和《量子群》。

Chapter1 Sets /1
1.1 Settheory /1
1.2 Maps /4
1.3 Equivalencerelationsandequivalenceclasses /11
1.4 Factorsets /14
1.5 Numbertheory /17
1.6 TheChineseRemainderTheorem /21
拓展阅读·数学家的故事 /24
Chapter2 Group /29
2.1 Definitionsandexamples /29
2.2 Subgroups /33
2.3 Cyclicgroups /36
2.4 Permutationgroups /40
2.5 Dihedralgroups /48
拓展阅读·数学家的故事 /53
Chapter3 PropertiesofGroups /57
3.1 CosetsandLagrangesTheorem /57
3.2 Normalsubgroupsandfactorgroups /62
3.3 Homomorphismsofgroups /64
3.4 Isomorphismsofgroups /67
3.5 FundamentalIsomorphismtheoremofgroups /72
3.6 Endmorphismsandautomorphismsofgroups /75
Chapter4 RingsandFields /85
4.1 Rings /85
4.2 SubringsandIdeals /89
4.3 Ringhomomorphisms /94
4.4 Maximalidealsandprimeideals /102
4.5 Extensionfields /106
4.6 Algebraicextensions /110
拓展阅读·数学家的故事 /114
附录1:Chapter1教学PPT /119
1.1 Settheory /119
1.2 Maps /125
1.3 Equivalencerelationsandequivalenceclasses /134
1.4 Factorsets /138
1.5 Numbertheory /143
1.6 TheChineseRemainderTheorem /145
附录2:Chapter2教学PPT /147
2.1 Definitionsandexamples /147
2.2 Subgroups /152
2.3 Cyclicgroups /154
2.4 Permutationgroups /159
2.5 Dihedralgroups /165
附录3:Chapter3教学PPT /168
3.1 CosetsandLagrangesTheorem /168
3.2 Normalsubgroupsandfactorgroups /175
3.3 Homomorphismsofgroups /177
2 BasicAbstractAlgebra
3.4 Isomorphismsofgroups /180
3.5 FundamentalIsomorphismtheoremofgroups /185
3.6 Endmorphismsandautomorphismsofgroups /188
附录4:Chapter4教学PPT /193
4.1 Rings /193
4.2 SubringsandIdeals /199
4.3 Ringhomomorphisms /207
4.4 Maximalidealsandprimeideals /213
4.5 Extensionfields /217
4.6 Algebraicextensions /222
References /226