经典力学

前言
绪论 1
第1章 变分法 3
1.1 泛函 3
1.1.1 泛函的概念 3
1.1.2 泛函的具体形式 5
1.2 变分 5
1.2.1 变分的概念 5
1.2.2 变分的运算规则 6
1.3 泛函导数 8
1.3.1 泛函导数的概念 8
1.3.2 泛函导数的操作定义 9
1.3.3 计算一阶泛函导数的标准手续 12
1.4 泛函极值 13
1.4.1 泛函极值的必要条件 13
1.4.2 欧拉-拉格朗日方程 14
1.4.3 多个变量与多元函数 17
习题 19
第2章 位形空间 21
2.1 位形与时间演化 21
2.1.1 位形 21
2.1.2 位形空间与流形 21
2.1.3 世界线 22
2.2 广义坐标 22
2.2.1 广义坐标的概念 22
2.2.2 广义坐标的变换 25
2.3 速度、速度相空间 26
2.3.1 速度相空间 26
2.3.2 广义坐标的变换所诱导的广义速度的变换 29
2.4 约束 29
2.4.1 约束的概念 29
2.4.2 约束的分类 30
2.5 自由度 35
习题 37
第3章 相对论时空观 40
3.1 时空的基本概念 40
3.1.1 时空 40
3.1.2 粒子与场 40
3.1.3 世界线 41
3.2 度规 42
3.2.1 从勾股定理谈起 42
3.2.2 一些典型空间的度规 43
3.2.3 度规的一般定义 45
3.2.4 时空的度规 46
3.2.5 逆变与协变 47
3.3 参考系 49
3.3.1 观测者 49
3.3.2 惯性参考系 50
3.4 相对性原理 50
3.4.1 伽利略相对性原理 51
3.4.2 爱因斯坦狭义相对性原理 52
习题 52
第4章 最小作用量原理 55
4.1 新的力学原理 55
4.1.1 “力”是一个不必要的概念 55
4.1.2 从牛顿到哈密顿 56
4.2 作用量 57
4.2.1 最小作用量原理的表述 57
4.2.2 广义动量 60
4.3 自由粒子 61
4.3.1 4 维形式 61
4.3.2 3 维形式 64
4.3.3 非相对论极限 65
4.4 外场中的粒子 66
4.4.1 标量场 67
4.4.2 电磁场 68
4.4.3 引力场 69
4.5 非相对论极限下作用量的基本形式 71
习题 76
第5章 对称性与守恒律 80
5.1 运动常数 80
5.2 广义动量、能量守恒 82
5.2.1 广义动量守恒 82
5.2.2 广义能量守恒 84
5.3 时空对称性与守恒量 87
5.3.1 空间的均匀性与各向同性 87
5.3.2 时间的均匀性 90
5.4 作用量的形式变换 91
5.4.1 拉格朗日量与全导数 91
5.4.2 广义坐标的变换 93
5.5 对称性 95
5.5.1 普通函数的对称性 95
5.5.2 时间与广义坐标的变换 97
5.5.3 作用量的对称性 99
5.6 诺特定理 102
5.6.1 诺特定理的证明 102
5.6.2 时空对称性 104
5.6.3 标度对称性 107
习题 111
第6章 辅助变量 114
6.1 拉格朗日乘子法 114
6.1.1 函数的条件极值 114
6.1.2 完整约束 116
6.1.3 非完整约束 118
6.2 辅助变量与有效作用量 122
6.3 拉格朗日乘子与辅助变量的其他技巧 125
6.3.1 广义速度的线性化 125
6.3.2 高阶导数的降阶 126
习题 127
第7章 微分变分原理 129
7.1 达朗贝尔原理 129
7.1.1 虚位移与虚功 129
7.1.2 达朗贝尔原理的表述 130
7.2 由达朗贝尔原理导出拉格朗日方程 131
7.2.1 保守系统 133
7.2.2 非保守系统 133
7.3 约尔当原理和高斯最小约束原理 134
7.3.1 约尔当原理 134
7.3.2 高斯最小约束原理 135
习题 135
第8章 两体问题 137
8.1 两体系统 137
8.1.1 两体系统的拉格朗日量 137
8.1.2 两体系统的退耦 138
8.2 中心势场 140
8.2.1 中心势场中的运动 140
8.2.2 定性讨论 143
8.2.3 贝特朗定理 143
8.3 开普勒问题 145
8.3.1 开普勒问题的求解 146
8.3.2 拉普拉斯-龙格-楞次矢量 147
8.3.3 开普勒问题的对称性 150
8.4 弹性碰撞 152
8.5 散射 154
8.5.1 散射角 154
8.5.2 散射截面 155
习题 156
第9章 微扰展开 158
9.1 线性化与微扰论 158
9.2 函数的微扰展开 158
9.3 作用量的微扰展开 160
9.3.1 单自由度 160
9.3.2 多自由度 162
9.4 稳定平衡位形附近的微扰展开 164
9.4.1 单自由度 164
9.4.2 多自由度 168
9.5 一般位形附近的微扰展开 171
习题 174
第10章 小振动 177
10.1 自由振动 177
10.1.1 单自由度 177
10.1.2 简正模式 179
10.1.3 简正坐标 185
10.2 阻尼振动 191
10.2.1 耗散函数 191
10.2.2 阻尼振动的求解 193
10.2.3 阻尼振动的有效拉格朗日量 194
10.3 受迫振动 195
10.4 参数共振 197
10.5 非线性振动 199
习题 201
第11章 转动理论 204
11.1 欧氏空间中的转动 204
11.1.1 转动是保度规的坐标变换 204
11.1.2 转动是线性空间中的基变换 206
11.1.3 转动的主动与被动观点 207
11.1.4 无穷小转动 208
11.2 闵氏时空中的转动 209
11.3 转动群及其李代数 210
11.3.1 转动群 210
11.3.2 生成元 212
11.3.3 李代数 213
11.4 有限转动与指数映射 215
11.4.1 D=2 215
11.4.2 D=3 216
11.4.3 指数映射 219
11.5 角速度 219
11.5.1 角速度矩阵 219
11.5.2 速度和加速度 222
11.5.3 D=3 224
11.5.4 有限转动与角速度 227
习题 228
第12章 刚体 230
12.1 刚体的描述 230
12.2 欧拉角 232
12.3 惯量张量 235
12.3.1 惯量张量的定义 235
12.3.2 平行轴定理 240
12.3.3 刚体的角动量 240
12.4 欧拉方程 241
12.4.1 刚体的拉格朗日量 242
12.4.2 定点转动的欧拉方程 244
12.5 自由陀螺 246
12.6 刚体的进动与章动 249
习题 251
第13章 哈密顿正则方程 253
13.1 哈密顿量 253
13.2 勒让德变换 254
13.2.1 勒让德变换的定义 254
13.2.2 勒让德变换的几何意义 258
13.3 相空间中的运动方程 259
13.3.1 “正则”是什么意思 259
13.3.2 从拉格朗日方程到哈密顿正则方程 260
13.4 相空间的变分原理 265
13.5 相空间中的演化 268
13.6 劳斯方法 273
13.6.1 劳斯函数 273
13.6.2 劳斯函数在循环坐标问题中的应用 275
13.7 双重勒让德变换 278
习题 279
第14章 泊松括号 281
14.1 相空间的辛结构 281
14.1.1 辛形式 281
14.1.2 哈密顿矢量场 284
14.2 辛内积与泊松括号 284
14.2.1 相空间中的“辛内积” 284
14.2.2 泊松括号的定义 285
14.2.3 泊松括号的性质 287
14.2.4 基本泊松括号 289
14.3 力学量的演化 291
14.3.1 用泊松括号表达的动力学方程 291
14.3.2 运动常数 292
14.3.3 泊松定理 292
14.4 角动量的泊松括号 295
14.4.1 角动量泊松括号的计算 295
14.4.2 开普勒问题 297
14.5 时空变换算符 299
14.5.1 时间演化算符 299
14.5.2 空间平移算符 301
14.5.3 空间转动算符 302
14.6 南部括号 303
习题 305
第15章 正则变换 308
15.1 相空间坐标变换 308
15.1.1 运动方程的考虑 308
15.1.2 几何的考虑 308
15.1.3 内积与转动 309
15.2 保辛与正则变换 310
15.2.1 正则变换是相空间的流动 310
15.2.2 点变换是正则变换 316
15.3 生成函数 317
15.3.1 正则变换的生成函数 317
15.3.2 生成函数的 4 种基本类型 320
15.4 单参数正则变换 325
15.4.1 无穷小正则变换 325
15.4.2 演化即是正则变换 329
15.4.3 对称性与生成元 330
15.5 刘维尔定理 332
15.5.1 相空间体元与刘维尔定理 332
15.5.2 相空间密度 334
15.6 三种空间：对比与总结 336
习题 336
第16章 哈密顿-雅可比理论 340
16.1 哈密顿-雅可比方程 340
16.1.1 把哈密顿量变为零 340
16.1.2 哈密顿-雅可比方程的导出 342
16.2 分离变量 344
16.3 经典作用量 352
16.3.1 作为经典路径端点函数的作用量 352
16.3.2 哈密顿主函数即经典作用量 354
16.4 从经典力学到量子力学 358
16.4.1 泊松括号与正则量子化 358
16.4.2 哈密顿-雅可比方程与薛定谔方程 361
习题 363
第17章 可积系统 366
17.1 寻找最简单的正则变量 366
17.1.1 将相流“拉直” 366
17.1.2 可积系统 367
17.1.3 周期运动 369
17.2 作用-角变量 371
17.2.1 单自由度 371
17.2.2 多自由度 379
17.3 绝热不变量 384
17.3.1 绝热变化中的近似不变量 384
17.3.2 绝热不变量的一般证明 390
17.3.3 哈内角 392
习题 396
附录A 数学附录 398
A.1 -符号 398
A.1.1 -符号的定义 398
A.1.2 叉乘 399
A.1.3 对偶 400
A.2 矢量与矩阵的求导 401
A.3 δ-函数作为泛函 402
A.4 空间与流形 403
A.5 角速度矩阵与联络 405
A.6 雅可比恒等式的代数意义 405