数学物理方程 第2版

本书是根据工科硕士生的专业需求和数学基础而编写的数学物理方程教材。内容包括偏微分方程的基本概念，数学物理方程相关的背景，数学模型的建立与定解问题，定解问题的典型求解方法（求通解方法、行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法以及数值求解法）。另外还介绍了勒让德多项式、球函数和贝塞尔函数在求解定解问题时的应用。本书模型导出过程详细，与基础数学课程联系紧密，突出应用。本书可作为工科各专业高年级本科生、研究生的教材，也可作为工程技术人员的参考用书。

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第1章 数学物理方程及其定解问题 1
1.1波动方程及其定解问题3
1.1.1波动方程的导出3
1.1.2典型定解条件6
1.1.3典型定解问题11
习题1.112
1.2热传导方程及其定解问题13
1.2.1热传导方程的导出13
1.2.2典型定解条件15
1.2.3典型定解问题17
1.2.4最值原理18
习题1.220
1.3位势方程及其定解问题21
1.3.1位势方程的导出21
1.3.2位势方程的典型定解问题22
1.3.3最值原理23
习题1.324
1.4定解问题的适定性及数学物理方程的分类25
1.4.1定解问题的适定性概念25
1.4.2二阶偏微分方程的分类25
习题1.428
第2章 线性偏微分方程的通解 29
2.1线性偏微分方程解的结构定理29
习题2.130
2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解31
习题2.232
2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解32
习题2.335
第3章 行波法 36
3.1一维波动问题与达朗贝尔公式36
3.1.1无界弦的自由振动36
3.1.2齐次化原理37
3.1.3无界弦的受迫振动38
3.1.4达朗贝尔公式的物理意义43
3.1.5依赖区间、决定区域、影响区域44
习题3.145
3.2空间波动问题47
3.2.1函数的球面对称性47
3.2.2齐次波动问题的泊松公式47
3.2.3非齐次波动问题的Kirchhoff公式53
3.2.4波动问题解的物理意义56
习题3.257
第4章 分离变量法 59
4.1Sturm-Liouville本征值问题59
4.1.1第一边值条件的本征值问题59
4.1.2混合边值条件的本征值问题60
4.1.3各类本征值问题小结及级数展开61
习题4.162
4.2波动方程的定解问题63
4.2.1齐次方程的齐次边值问题63
4.2.2级数形式解的物理意义66
4.2.3非齐次方程的齐次边值问题68
4.2.4非齐次方程的第一非齐次边值问题73
习题4.275
4.3热传导方程的定解问题76
4.3.1齐次方程的第二齐次边值问题76
4.3.2非齐次方程的第二齐次边值问题77
4.3.3非齐次边值问题79
4.3.4混合边值问题举例81
习题4.384
4.4拉普拉斯方程的定解问题85
4.4.1圆域内的第一边值问题85
4.4.2矩形域内的第一边值问题88
习题4.491
第5章 勒让德多项式、球函数 93
5.1勒让德多项式93
5.1.1勒让德方程及其本征值问题93
5.1.2勒让德多项式93
5.1.3勒让德多项式的母函数与引力势96
5.1.4勒让德多项式的性质与勒让德级数98
习题5.1102
5.2勒让德多项式的应用103
习题5.2108
5.3球函数、连带勒让德方程109
5.3.1球函数与连带勒让德函数109
5.3.2连带勒让德函数和球函数的基本性质111
5.3.3球函数应用举例114
习题5.3116
第6章 贝塞尔函数 117
6.1推广的Γ-函数117
6.2贝塞尔方程的导出118
6.3贝塞尔方程的通解与贝塞尔函数120
6.4贝塞尔级数展开124
6.4.1贝塞尔函数的恒等式124
6.4.2贝塞尔函数的正交性125
6.4.3贝塞尔级数展开126
6.5贝塞尔函数的应用128
6.5.1圆形区域128
6.5.2圆柱形区域132
6.5.3球形区域135
习题6.5136
第7章 积分变换法 137
7.1傅里叶积分变换137
7.1.1傅里叶积分公式与傅里叶变换137
7.1.2傅里叶变换的基本性质141
7.1.3卷积142
7.1.4多重傅里叶变换145
习题7.1146
7.2拉普拉斯变换146
7.2.1拉普拉斯变换的定义147
7.2.2存在定理及性质148
7.2.3反演公式151
习题7.2157
7.3傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用158
7.3.1一般定解问题158
7.3.2拉普拉斯变换在化学反应工程中的应用165
7.3.3拉普拉斯变换在材料科学中的应用170
习题7.3171
第8章 格林函数法 173
8.1δ-函数173
8.1.1δ-函数的定义173
8.1.2δ-函数的物理意义174
8.1.3广义函数与δ-函数的数学性质175
8.1.4高维δ-函数178
8.1.5δ-函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换178
8.1.6δ-函数及其傅里叶变换和卷积运算在通信工程中的应用180
习题8.1182
8.2格林公式及其应用182
8.2.1格林公式183
8.2.2应用举例183
习题8.2184
8.3位势问题的格林函数185
8.3.1格林函数的概念185
8.3.2位势方程的第一边值问题187
8.3.3用电像法求格林函数188
习题8.3191
8.4含时间问题的格林函数192
8.4.1波动方程的初值问题192
8.4.2热传导方程的初值问题196
习题8.4198
第9章 数值求解法 199
9.1波动方程的差分解法200
9.2热传导方程的差分解法201
9.3位势方程的差分解法203
9.3.1同步迭代法204
9.3.2异步迭代法205
习题9.3207
附录 208
附录Ⅰ常用公式208
附录Ⅱ线性常微分方程的通解214
附录Ⅲ傅里叶级数216
附录Ⅳ傅里叶变换表217
附录Ⅴ拉普拉斯变换表218
部分习题参考答案221
参考文献249