变分方法与无穷维Hamilton系统

前言
符号说明
第1章 Hilbert流形 1
1.1 Hilbert流形的相关性质 1
1.2 Hilbert流形上的微分学 3
1.2.1 无穷维空间上的微分学 3
1.2.2 无穷维流形上的微分学 7
1.3 Riemann-Hilbert流形 9
1.4 Hilbert流形的Morse理论 12
第2章 无穷维Hamilton系统 20
2.1 Hilbert空间上的近复结构与辛结构 20
2.2 平坦的无穷维Hamilton系统 21
2.2.1 Hamilton向量场 21
2.2.2 Hilbert空间上的无穷维 Hamilton系统 26
2.3 流形上的辛结构 27
2.4 一般的无穷维Hamilton系统 28
2.4.1 Hilbert流形上的Hamilton向量场 28
2.4.2 Hilbert流形上的无穷维 Hamilton系统 31
第3章 变分的讨论 33
3.1 线性算子的谱理论 33
3.1.1 谱族的定义及性质 33
3.1.2 谱集与预解集 37
3.1.3 Fourier变换 39
3.1.4 谱的计算 40
3.1.5 插值理论 60
3.2 变分框架 64
3.2.1 抽象方程的变分框架 64
3.2.2 Dirac方程的变分框架 65
3.2.3 非线性Dirac-Klein-Gordon系统的变分框架 69
3.2.4 非线性Dirac-Maxwell系统的变分框架 71
3.3 抽象的临界点定理73
3.3.1 形变引理 74
3.3.2 临界点定理75
第4章 解的存在性结果 83
4.1 非线性Dirac-Klein-Gordon系统 83
4.1.1 Lagrange系统的观点 84
4.1.2 假设和主要结果 87
4.1.3 泛函的拓扑性质 88
4.1.4 Cerami序列 92
4.1.5 存在性的证明 95
4.2 非线性Dirac-Maxwell系统 103
4.2.1 Lagrange系统的观点 103
4.2.2 主要结论 107
4.2.3 变分结构与泛函的拓扑性质 108
4.2.4 Cerami序列 110
4.2.5 存在性证明 112
第5章 系统的极限问题 115
5.1 半经典极限 115
5.1.1 带有非线性位势Dirac方程的半经典极限 115
5.1.2 带有竞争位势Dirac方程解的集中性 129
5.2 非相对论极限 153
5.2.1 主要结果 154
5.2.2 变分框架与泛函的拓扑性质 154
5.2.3 非线性Dirac方程解的一致有界性 157
5.2.4 定理5.2.1的证明 159
第6章 解的其他性质 167
6.1 正则性结果 167
6.1.1 半经典Dirac方程解的一致正则性 167
6.1.2 非线性Dirac-Klein-Gordon系统解的正则性 168
6.1.3 非相对论极限问题下解的一致正则性 171
6.2 衰减性结果 173
6.2.1 带非线性位势的半经典Dirac方程解的衰减估计 173
6.2.2 带竞争位势的半经典Dirac方程解的衰减估计 174
6.2.3 非线性Dirac-Klein-Gordon系统解的衰减性 177
6.2.4 非相对论极限问题下解的一致衰减性 179
第7章 解的多重性结果 182
7.1 稳态解的多重性 182
7.2 半经典态的多解性 184
7.2.1 Rn上的非线性 Dirac方程的半经典态的多重性 184
7.2.2 非线性Dirac-Klein-Gordon系统方程的半经典态的多重性 203
7.3 无穷多解的存在性 228
7.3.1 主要结果 228
7.3.2 变分框架与预备知识 229
7.3.3 定理7.3.1的证明 233
7.3.4 定理7.3.2的证明 237
参考文献 242