计算复杂性理论

本教材可作为以下课程的主参考书：（1）面向高年级本科生、研究生的“计算复杂性理论导论”课程；（2）面向研究生的“计算复杂性理论高等议题”课章；（3）面向高年级本科生、研究生的“高等算法”课程；（4）面向高年级本科生、研究生的“计算理论”课程。

本书是一本介绍计算复杂性理论的基础教材, 内容包括时间复杂性、空间复杂性、NP-理论、多项式谱 系、电路复杂性、随机计算及去随机、计数复杂性、交互证明系统、PCP 定理、近似计算与不可近似性。 本书的主要读者群是高年级本科生、硕士生、博士生，以及希望了解（更多）计算复杂性理论的教师 和科研工作者。本书可用于以下课程：（1）面向高年级本科生、研究生的“计算复杂性理论导论”课程， 内容涵盖前3 章；（2）面向研究生的“计算复杂性理论高等议题”课程，内容涵盖后3 章；（3）面向高年 级本科生、研究生的“算法理论”课程，涵盖第 4 章、第 6 章中有关随机算法和去随机、近似算法和不 可近似性的内容；（4）面向高年级本科生、研究生的“计算理论”课程，以第 1 章的内容为核心，并根 据学分多少和授课对象不同做适当补充。

第1章 计算理论
1.1 图灵机
1.2 时间可构造性
1.3 通用图灵机
1.4 对角线方法
1.5 丘奇-图灵论题
1.6 加速定理
1.7 时间复杂性类
1.8 非确定图灵机
1.9 命题逻辑
1.10 谓词逻辑
1.11 计算的逻辑刻画
1.12 时间谱系定理
1.13 间隙定理
1.14 神谕图灵机
1.15 归约
1.16 空间复杂性类
1.17 对数空间类
1.18 多项式空间类
1.19 对数空间的补封闭性
1.20 TIME（T（n））=SPACE（T（n））吗
第1章练习
第2章 难解性
2.1 可验证性
2.2 NP-接近性
2.3 库克-莱文定理
2.4 拉德纳定理
2.5 贝克-吉尔-索罗维定理
2.6 多项式谱系
2.7 谱系的逻辑刻画
2.8 谱系的交替机刻画
2.9 无限谱系假设
2.10 第二层中的接近问题
第2章练习
第3章 电路复杂性
3.1 电路谱系定理
3.2 一致电路
3.3 P/poly
3.4 并行计算
3.5 P-接近性
3.6 哈斯塔德对换引理
第3章练习
第4章 随机计算与去随机
4.1 随机算法
4.2 通用哈希函数族
4.3 概率图灵机
4.4 BPP与ZPP
4.5 PP与#P
4.6 积和式计算
4.7 户田定理
4.8 随机游走
4.9 蒙特卡罗方法
4.9.1 近似采样
4.9.2 马尔可夫链蒙特卡罗方法
4.9.3 均混时间
4.10 扩张图与去随机
4.10.1 线性代数相关知识
4.10.2 图的谱
4.10.3 扩张图
4.10.4 扩张图上的随机游走
4.11 扩张图的构造
4.11.1 扩张图的构造算子
4.11.2 固定大小扩张图构造
4.11.3 显式扩张图族
4.12 莱因戈尔德定理
第4章练习
第5章 交互证明系统
5.1 私币交互证明
5.2 公币交互证明
5.3 IP=PSPACE
5.4 两类系统的等价性
5.5 多证明者交互证明系统
5.5.1 定义
5.5.2 NEXP的多证明者协议
5.6 多线性性测试算法
5.7 并行重复定理
5.7.1 统计距离、詹森不等式、相对熵
5.7.2 随机变量的近似嵌入
5.7.3 博弈的近似生成
5.7.4 证明的最后一步
5.8 单回合双证明者交互系统
第5章练习
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