鞅与随机微分方程(第2版)

《鞅与随机微分方程（第二版）》是随机微分方程与随机分析初学者的入门教材，系统地介绍了概率论、鞅和随机积分及随机微分方程的基础知识、基本理论和典型方法。内容包括：测度与积分、独立性、Radon-Nikodym定理和条件数学期望等概率论的基础知识；停时、离散鞅和连续鞅的基本内容；鞅和连续局部半鞅随机积分的一般理论及Ito型随机微分方程的初步内容。

前言
第一版前言
全文符号
第一篇概率论基础
第1章可测空间与乘积可测空间3
1.1σ代数理论3
1.1.1σ代数3
1.1.2单调类定理7
1.2可测空间和乘积可测空间10
1.2.1可测空间10
1.2.2有限维乘积可测空间11
1.2.3无穷维乘积可测空间13
1.3可测映射与随机变量15
1.3.1映射、可测映射15
1.3.2可测函数——随机变量16
1.3.3可测函数的运算17
1.3.4函数形式的单调类定理20
1.3.5多维随机变量21
第2章测度与积分23
2.1测度与测度空间23
2.1.1测度空间23
2.1.2代数上的测度24
2.1.3完备测度25
2.1.4分布函数及其生成的测度26
2.2随机变量的数字特征29
2.2.1积分——期望29
2.2.2随机变量的矩32
2.2.3随机向量的数学特征34
2.3随机变量及其收敛性35
2.3.1随机变量的等价类35
2.3.2几乎必然（a.s.）收敛37
2.3.3依概率收敛38
2.3.4依分布收敛39
2.3.5平均收敛40
2.4独立性与零一律41
2.4.1独立性41
2.4.2零一律43
2.5乘积可测空间上的测度45
2.5.1有限维乘积空间上的测度46
2.5.2无限维乘积空间上的测度51
第3章条件期望55
3.1广义测度55
3.1.1Hahn-Jordan分解55
3.1.2Lebesgue分解58
3.1.3Radon-Nikodym定理61
3.2条件期望65
3.2.1条件期望的定义65
3.2.2条件期望的性质68
3.2.3条件概率分布71
3.2.4条件独立性78
第二篇鞅
第4章随机过程83
4.1随机过程的概念83
4.2可料过程91
4.3停时96
4.3.1连续时间随机过程的停时96
4.3.2离散时间随机过程的停时102
4.3.3停时随机变量104
4.3.4停时过程和截断过程106
4.4Lp收敛和一致可积108
4.4.1Lp收敛108
4.4.2随机变量族的一致可积110
第5章鞅120
5.1鞅、下鞅和上鞅120
5.1.1鞅、下鞅和上鞅的定义120
5.1.2鞅的凸理论125
5.1.3离散时间的增过程和Doob分解125
5.1.4鞅变换128
5.2下鞅基本不等式131
5.2.1可选停时和可选采样132
5.2.2极大和极小不等式139
5.2.3上穿和下穿不等式147
5.3下鞅的收敛性156
5.3.1离散时间下鞅的收敛性156
5.3.2连续时间下鞅的收敛性161
5.3.3用一个最终元素封闭下鞅164
5.3.4离散时间平方可积（L2）鞅167
5.4一致可积下鞅172
5.4.1一致可积下鞅的收敛性172
5.4.2逆时间下鞅172
5.4.3无界停时的可选采样180
5.4.4停时随机变量族的一致可积性187
5.5下鞅样本函数的正则性190
5.5.1右连续下鞅的样本函数190
5.5.2下鞅的右连续修正194
5.6连续时间的增过程202
5.6.1关于增过程的积分202
5.6.2右连续类（DL）下鞅的Doob-Meyer分解207
5.6.3正则下鞅225
第三篇随机积分
第6章随机积分235
6.1平方可积鞅和它的二次变差过程235
6.1.1右连续平方可积（L2）鞅空间235
6.1.2局部有界变差过程244
6.1.3右连续平方可积（L2）鞅的二次变差过程247
6.2关于鞅的随机积分252
6.2.1有界左连续适应简单过程关于L2鞅的随机积分252
6.2.2可料过程关于L2鞅的随机积分261
6.2.3截断被积函数和用停时停止积分272
6.3适应Brownian运动278
6.3.1独立增量过程278
6.3.2Rd值Brownian运动280
6.3.3一维Brownian运动287
6.3.4关于Brownian运动的随机积分292
6.4随机积分的推广300
6.4.1局部平方可积（L2）鞅和它们的二次变差300
6.4.2随机积分对局部鞅的推广306
6.5关于拟鞅的It公式311
6.5.1连续局部半鞅和关于拟鞅的It公式311
6.5.2关于拟鞅的随机积分326
6.5.3指数拟鞅328
6.5.4关于拟鞅的多维It公式330
6.6It随机微积分335
6.6.1随机微分的空间335
6.6.2It过程340
6.6.3矩不等式345
6.6.4Gronwall型不等式352
第四篇随机微分方程理论
第7章It型随机微分方程的一般理论357
7.1随机微分方程概述357
7.1.1问题介绍357
7.3解的估计370
7.3.1解的Lp-估计370
7.3.2解的几乎处处渐近估计375
7.4It型随机微分方程的近似解384
7.4.1Caratheodory近似解385
7.4.2Euler-Maruyama近似解389
7.4.3强解和弱解391
7.5SDE和PDE：Feynman-Kac公式393
7.5.1Dirichlet问题395
7.5.2初始边界值问题398
7.5.3Cauchy问题399
7.6随机微分方程解的Markov性401
第8章线性随机微分方程409
8.1线性随机微分方程简介409
8.2随机Liouville公式410
8.3常数变易公式414
8.4几种特殊情形的研究417
8.4.1标量线性方程417
8.4.2狭义线性方程417
8.4.3自治线性方程418
8.5某些特殊的线性随机微分方程419
第9章随机微分方程的稳定性426
9.1稳定性的一般概念426
9.2解的依概率稳定性430
9.3解的几乎必然指数稳定性440
9.4解的矩指数稳定性448
9.5随机稳定化与不稳定化457
9.6解稳定性的进一步论题463
参考文献469
名词索引470