力学数值计算中的保辛算法

本书以力学数值计算中的保辛算法为中心，按照从简单到复杂、从基础到推广的思路，系统详细介绍了多个力学系统及其保辛算法的主要内容。本书首先介绍了辛几何与辛代数、Poisson括号与广义Poisson括号、常微分方程与随机微分方程的基本概念和基本理论，为后续章节的阐述奠定数学基础；后续内容分别详细介绍了包括哈密顿系统、广义哈密顿系统、Birkhoff系统等力学系统及其保辛算法，此外还简要介绍了等谱流及其求解方法；最后通过大量数值算例，介绍了保辛算法的近期新理论成果及其在结构响应分析中的应用。本书可供高年级本科生、研究生、高等学校教师及数学力学工作者阅读，也可作为数值算法研究人员的入门书籍或参考书。

前言
第1章相关数学基础1
1.1辛几何与辛代数1
1.1.1几何方面预备知识1
1.1.2代数方面预备知识8
1.1.3辛空间和Euclid空间18
1.1.4辛流形19
1.1.5辛矩阵22
1.2Poisson括号与广义Poisson括号32
1.2.1Poisson括号32
1.2.2广义Poisson括号36
1.3常微分方程41
1.3.1常微分方程的基本概念及其数值方法的收敛性与稳定性41
1.3.2常微分方程的有根树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用43
1.4随机微分方程48
1.4.1随机微分方程的基本概念48
1.4.2随机微分方程的双色树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用53
1.4.3随机微分方程组的四色树理论及其在分块Runge-Kutta方法中
的应用64
1.4.4力学系统的随机变分计算73
第2章哈密顿系统及其保辛算法79
2.1哈密顿系统79
2.1.1哈密顿方程79
2.1.2辛结构与守恒律83
2.1.3辛格式87
2.1.4显含时间可分线性非齐次哈密顿系统的辛格式和划归方法102
2.2随机哈密顿系统106
2.2.1随机哈密顿系统的表示与分类107
2.2.2准确平稳解108
2.2.3等效非线性系统法109
2.2.4拟哈密顿系统随机平均法110
2.2.5随机稳定性与分岔112
2.2.6首次穿越损坏114
2.3多辛哈密顿系统115
2.3.1多辛哈密顿系统及其守恒律115
2.3.2多辛哈密顿系统的典型离散方法119
2.3.3多辛哈密顿系统的应用126
第3章广义哈密顿系统及其保辛算法169
3.1广义哈密顿系统169
3.1.1广义哈密顿方程169
3.1.2线性广义哈密顿系统与无穷小Poisson矩阵171
3.2广义哈密顿方程的对称性与守恒量173
3.2.1积分理论173
3.2.2对称性直接得到的守恒量175
3.3广义哈密顿系统的数值方法184
3.3.1基于Pade逼近的线性广义哈密顿系统的Poisson格式184
3.3.2PoissonRunge-Kutta格式及其守恒律186
3.3.3数值迭代算法191
第4章Birkhoff系统及其保辛算法194
4.1Birkhoff系统194
4.1.1Birkhoff方程与Pfaff-Birkhoff原理194
4.1.2Birkhoff方程的构造方法195
4.1.3Birkhoff方程的性质197
4.1.4Birkhoff方程的保辛算法201
4.2多辛Birkhoff系统205
4.2.1多辛哈密顿方程的推广206
4.2.2多辛Birkhoff系统表示形式208
4.2.3Birkhoff多辛守恒律和多辛格式214
4.2.4线性阻尼振动方程的Birkhoff形式218
第5章等谱流及其求解方法224
5.1等谱流的概念及其分类224
5.1.1等谱流的概念224
5.1.2等谱流问题的分类224
5.2等谱流方法226
5.2.1修正的Gauss-LegendreRunge-Kutta(MGLRK)方法226
5.2.2半显式等谱Taylor方法229
5.2.3Runge-Kutta-Munthe-Kaas(RKMK)方法231
5.2.4Cayley变换下的RKMK方法233
5.2.5基于Magnus展开的双括号等谱流方法235
5.2.6基于一般线性逼近的有限积分法的等谱流法237
第6章力学系统保辛算法的数值算例及其应用241
6.1扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用241
6.1.1引言241
6.1.2扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法242
6.1.3基于摄动级数展开法的扰动线性哈密顿系统的辛结构243
6.1.4数值算例246
6.1.5本节小结254
6.2非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用254
6.2.1引言255
6.2.2非保守线性非齐次哈密顿系统255
6.2.3非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法256
6.2.4基于摄动级数展开法的非保守线性哈密顿系统的辛结构258
6.2.5结构动力响应问题的非保守线性哈密顿系统表示260
6.2.6数值算例261
6.2.7本节小结266
6.3随机和区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法及其应用266
6.3.1引言267
6.3.2含扰动非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法267
6.3.3随机非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法269
6.3.4区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法272
6.3.5随机和区间非齐次线性哈密顿系统结果比较275
6.3.6数值算例277
6.3.7本节小结282
6.4随机和区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法及其应用282
6.4.1引言283
6.4.2含扰动确定性哈密顿系统的保辛同伦摄动法283
6.4.3随机哈密顿系统的保辛同伦摄动法285
6.4.4区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法288
6.4.5随机和区间哈密顿系统计算结果比较290
6.4.6数值算例290
6.4.7本节小结302
6.5线性Birkhoff方程的不确定性保辛参数摄动法及其应用302
6.5.1引言302
6.5.2扰动线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法303
6.5.3随机线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法304
6.5.4区间线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法306
6.5.5随机方法与区间方法的对比308
6.5.6数值算例311
6.5.7本节小结318
6.6基于生成函数法的结构动力响应问题的保辛算法318
6.6.1引言319
6.6.2基于结构动力学方程构建Birkhoff系统319
6.6.3结构动力学方程的生成函数法320
6.6.4数值算例323
6.6.5本节小结324
6.7结构静力问题的增减维保辛摄动级数方法325
6.7.1引言325
6.7.2结构静力问题迭代格式的一般构建方法.326
6.7.3结构静力问题保辛迭代格式的构建方法.326
6.7.4数值算例333
6.7.5本节小结336
6.8微分方程的增减维保辛摄动级数方法及其应用337
6.8.1引言337
6.8.2偶数维一阶常微分方程保辛格式的构建方法338
6.8.3奇数维一阶常微分方程的增减维摄动级数法340
6.8.4数值算例342
6.8.5本节小结345
参考文献347