分数阶微积分学 数值算法与实现

学习资源: 配书程序代码:关注“人工智能科学与技术”微信公众号，在“知识”→“资源下载”→“配书资源”菜单获取下载链接（或到清华大学出版社网站本书页面获取下载链接）。 视频公开课程爱课程或中国大学MOOC（慕课）“现代科学运算——MATLAB语言与应用”（非严格配套本书视频，仅供读者参考）。 薛定宇教授经典著作如下: MATLAB/Simulink实用教程——编程、计算与仿真 分数阶微积分学：数值算法与实现 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅰ）：MATLAB程序设计 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅱ）：MATLAB微积分运算 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅳ）：MATLAB最优化计算 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解 薛定宇教授大讲堂（卷Ⅵ）：Simulink建模与仿真

本书系统地介绍分数阶微积分学领域的理论知识与数值计算方法。特别地，作者提出并实现一整套高精度的分数阶微积分学的数值计算方法；提出线性、非线性分数阶微分方程的通用数值解法和基于框图的通用仿真框架；提出并实现了基于框图的分数阶隐式微分方程、延迟微分方程与分数阶微分方程边值问题的通用求解方法。本书所有知识点均配有高质量的MATLAB代码与Simulink模型，有助于读者更好地理解知识点的内涵，更重要地，可以利用代码实践并创造性地解决相关问题。本书可供数学与应用科学领域的高年级本科生、研究生与工程师系统学习分数阶微积分学理论及其计算方法，并用其解决实际应用问题。

薛定宇1992年获英国Sussex大学博士学位，1997年起任东北大学信息科学与工程学院教授。中国自动化学会分数阶系统与控制专业委员会副主任。辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师。20余年来从事分数阶系统与控制领域的研究工作，提出分数阶微积分、常微分方程数值计算的高精度算法与基于框图的通用仿真方法，发表多篇学术论文并出版多部相关图书。开发的FOTF工具箱是国际分数阶系统研究领域四大工具箱之一。

第1章分数阶微积分学简介1
1.1分数阶微积分学的历史回顾1
1.2自然世界中的分数阶现象与模型举例4
1.3分数阶微积分计算的历史回顾5
1.3.1分数阶微积分的数值计算5
1.3.2分数阶常微分方程的数值计算6
1.3.3分数阶偏微分方程的数值计算7
1.4分数阶微积分与分数阶控制工具简介8
1.5本书的结构9
1.5.1本书的主要内容与要点9
1.5.2阅读本书的建议11
参考文献12
第2章常用特殊函数的定义与计算17
2.1误差函数与补误差函数17
2.2Gamma函数19
2.2.1Gamma函数的定义与性质20
2.2.2复数的Gamma函数23
2.2.3Gamma函数的其他表现形式23
2.2.4不完全Gamma函数24
2.3Beta函数24
2.3.1Beta函数的定义与性质24
2.3.2不完全Beta函数27
2.4Dawson函数27
2.5超几何函数29
2.6Mittag-Leffler函数32
2.6.1单参数Mittag-Leffler函数32
2.6.2双参数Mittag-Leffler函数34
vi分数阶微积分学——数值算法与实现
2.6.3多参数Mittag-Leffler函数39
2.6.4Mittag-Leffler函数与超几何函数的关系39
2.6.5Mittag-Leffler函数的导数40
2.6.6Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算43
本章习题44
参考文献46
第3章分数阶微积分：定义与计算47
3.1分数阶Cauchy积分公式48
3.1.1Cauchy积分公式49
3.1.2常用函数的分数阶微分与积分公式49
3.2Grünwald–Letnikov分数阶微积分定义与计算50
3.2.1高阶整数阶导数的推导50
3.2.2Grünwald–Letnikov分数阶微分的定义50
3.2.3Grünwald–Letnikov分数阶微分与积分的数值计算51
3.2.4Podlubny的矩阵算法58
3.2.5短时记忆效应及其探讨59
3.3Riemann–Liouville分数阶微积分定义与计算62
3.3.1高阶整数阶积分公式63
3.3.2Riemann–Liouville分数阶微积分定义63
3.3.3常用函数的Riemann–Liouville微积分公式64
3.3.4初始时刻平移的性质65
3.3.5Riemann–Liouville定义的数值计算66
3.3.6Riemann–Liouville微积分的符号计算68
3.4Caputo分数阶微积分定义69
3.4.1Caputo微积分定义69
3.4.2常用的Caputo导数公式69
3.4.3Caputo定义的符号运算71
3.5各种不同分数阶微积分定义之间的关系72
3.5.1Grünwald–Letnikov与Riemann–Liouville定义的关系72
3.5.2Caputo与Riemann–Liouville定义的关系73
3.5.3Caputo分数阶微分的数值计算73
3.6分数阶微积分的性质与几何解释75
3.6.1分数阶微积分的性质75
3.6.2分数阶积分的几何解释77
本章习题80
参考文献82
第4章分数阶微积分的高精度数值计算83
4.1任意整数阶的生成函数构造83
4.2高精度Grünwald–Letnikov导数算法的尝试87
4.2.1基于FFT的算法88
4.2.2系数计算的递推公式90
4.3高精度Grünwald–Letnokov算法与实现95
4.3.1非零初值的分解与补偿95
4.3.2高精度算法与实现96
4.3.3算法的测试与评价97
4.3.4再论矩阵算法100
4.4Caputo微分的高精度算法100
4.4.1算法与实现101
4.4.2算法的测试与评价101
4.4.3基准测试问题求解103
4.5更高阶分数阶导数的计算105
4.5.1整数阶高阶导数的高精度算法105
4.5.2高阶分数阶导数计算107
本章习题110
参考文献112
第5章分数阶微积分算子与系统的近似113
5.1线性整数阶模型的表示与分析114
5.1.1数学模型输入与处理114
5.1.2时域与频域响应115
5.1.3分数阶线性系统的建模与分析115
5.2基于连分式的几种近似方法116
5.2.1连分式近似116
5.2.2Carlson近似118
5.2.3Matsuda–Fujii近似121
5.2.4拟合效果与滤波器参数选择的关系123
5.3Oustaloup滤波器近似124
5.3.1常规的Oustaloup近似124
5.3.2一种改进的Oustaloup滤波器129
viii分数阶微积分学——数值算法与实现
5.4分数阶传递函数的整数阶近似132
5.4.1分数阶传递函数的高阶近似132
5.4.2基于模型降阶技术的低阶近似方法135
5.5无理分数阶模型的近似140
5.5.1隐式无理模型的近似140
5.5.2频域响应近似方法141
5.5.3Charef近似144
5.5.4复杂无理模型的最优Charef滤波器设计148
5.6离散滤波器近似154
5.6.1FIR滤波器逼近155
5.6.2IIR滤波器逼近157
5.6.3基于阶跃或冲激响应不变性的离散滤波器159
本章习题161
参考文献163
第6章线性分数阶微分方程的解析解与数值解165
6.1线性分数阶微分方程简介165
6.1.1线性分数阶微分方程的一般形式166
6.1.2不同定义下的分数阶导数初值问题166
6.1.3一个重要的Laplace变换公式168
6.2一些线性分数阶微分方程的解析解方法169
6.2.1线性单项分数阶微分方程169
6.2.2双项分数阶微分方程169
6.2.3三项分数阶微分方程170
6.2.4一般n项分数阶微分方程171
6.3同元次线性微分方程的解析求解172
6.3.1同元次微分方程的一般形式172
6.3.2线性分数阶微分方程求解的一些常用Laplace变换公式174
6.3.3同元次微分方程的解析解175
6.4零初值线性分数阶微分方程的闭式解算法179
6.4.1闭式解算法179
6.4.2分数阶线性模型的冲激响应181
6.4.3分数阶微分方程数值解的检验183
6.4.4基于矩阵的求解算法184
6.4.5高精度闭式解算法186
6.5非零初值线性Caputo微分方程的数值解法188
6.5.1Caputo微分方程的数学描述188
6.5.2Taylor辅助函数算法188
6.5.3Caputo微分方程的高精度算法191
6.6线性分数阶状态方程求解197
6.6.1线性分数阶系统的状态方程描述197
6.6.2状态转移矩阵198
6.6.3非同元次系统的状态方程模型201
6.7无理分数阶微分方程的数值解法202
6.7.1无理分数阶传递函数描述202
6.7.2基于数值Laplace反变换的仿真方法202
6.7.3闭环无理系统的时域响应计算205
6.7.4任意输入信号的时域响应207
6.8线性分数阶系统的稳定性判定208
6.8.1线性同元次分数阶系统的稳定性判定209
6.8.2非同元次系统的稳定性判定211
6.8.3无理系统的稳定性判定214
本章习题216
参考文献217
第7章非线性分数阶微分方程的数值求解219
7.1分数阶微分方程描述220
7.1.1分数阶微分方程的一般形式220
7.1.2同元次状态方程221
7.1.3扩展状态方程221
7.2非线性Caputo微分方程的数值解算法223
7.2.1标量型同元次方程的数值解方法223
7.2.2向量型同元次Caputo微分方程的求解227
7.2.3分数阶扩展状态方程的数值求解231
7.2.4基于代数方程求解的微分方程算法237
7.3Caputo微分方程的高效高精度算法239
7.3.1预估方程239
7.3.2校正求解方法242
本章习题244
参考文献246
x分数阶微积分学——数值算法与实现
第8章基于框图的分数阶微分方程求解247
8.1FOTF工具箱与模块集简介247
8.1.1分数阶传递函数模块的输入与连接248
8.1.2分数阶线性状态方程模型250
8.1.3线性分数阶系统的分析函数250
8.1.4FOTF模块集251
8.2零初值分数阶微分方程的框图解法252
8.2.1Simulink建模准则252
8.2.2Simulink的环境参数设置253
8.2.3分数阶微分方程的Simulink建模与求解255
8.2.4非线性分数阶微分方程数值解的检验261
8.3非零初值Caputo微分方程的框图解法262
8.3.1显式Caputo微分方程的建模仿真方法262
8.3.2分数阶状态方程的Simulink建模267
8.3.3阶次大于1的状态方程处理方法273
8.4分数阶反馈控制系统的Simulink仿真276
8.4.1分数阶传递函数模块276
8.4.2分数阶PID控制器及闭环系统仿真276
8.4.3多变量控制系统的仿真278
本章习题280
参考文献282
第9章特殊微分方程的数值求解285
9.1隐式微分方程285
9.1.1隐式Caputo微分方程的高精度矩阵算法285
9.1.2隐式分数阶微分方程的数值解法289
9.1.3基于刚性微分方程的求解方法291
9.1.4隐式模块的逼近效果292
9.2延迟微分方程的求解294
9.2.1基本测试问题的设计295
9.2.2历史函数的建模295
9.2.3延迟微分方程的求解296
9.3微分方程的边值问题求解299
9.3.1边值问题的数学形式299
9.3.2打靶法的最优化与代数方程建模300
9.3.3Simulink的快速重启设置302
9.3.4边值问题的直接求解302
9.4时间分数阶偏微分方程的数值求解307
本章习题314
参考文献316
附录A分数阶微分方程求解的基准测试问题317
A.1基准测试问题的数学描述与证明317
A.1.1分数阶常微分方程初值问题317
A.1.2分数阶微分方程的边值问题322
A.1.3分数阶延迟微分方程323
A.2基本测试问题Simulink模块组324
本章习题325
参考文献326
附录B分数阶和无理函数相关的Laplace反变换327
B.1分数阶微积分学常用的特殊函数327
B.2Laplace反变换表328
参考文献330
附录CFOTF工具箱函数与模型331
C.1基本计算函数331
C.1.1特殊函数与其他数学问题计算与支持函数331
C.1.2分数阶微积分数值计算332
C.1.3滤波器设计332
C.1.4线性分数阶微分方程求解332
C.1.5非线性分数阶微分方程求解333
C.2面向对象的程序设计333
C.2.1分数阶传递函数的FOTF类333
C.2.2分数阶状态方程的FOSS类334
C.3Simulink模型335
C.3.1Simulink的FOTF模块集336
C.3.2重要的可重用分数阶系统仿真模型336
参考文献336
索引337