从初等数学到高等数学 第1卷

本书是希望在中学数学和高等数学之间搭一座桥梁。以中学数学为起点，逐步展示高等数学的基本思想和方法，便于大学新生快速适应高度抽象的高等数学。反过来，介绍如何把握高等数学的高观点，更好地服务于中学数学的教与学。本书用数学分析、线性代数和高等几何等现代数学的思想方法解释和理解中学数学，力求用通俗易懂的语言，深入浅出地揭示现代数学的思想方法，找出现代数学与中学数学的结合点，从高观点来引领初等数学，指导中学数学教学。本书案例翔实，思想新颖，方法简明，可启迪读者的思维，开阔读者的视野，提高读者提出问题、分析问题与解决问题的能力，适合高中学生、教师、师范生，以及数学教育研究者参考。

彭翕成，博士，数学科普作家，主要从事数学文化传播和数学教育技术的普及，热衷于数学科普协作，发表文章百余篇，出版著作十余部，主要有《数学哲学》《绕来绕去的向量法》《向量、复数与质点》《点几何解题》《仁者无敌面积法》《动态几何教程》《数学教育技术》《课本上学不到的数学》《师从张景中》《不等式探秘》《数学人的逻辑》《从初等数学到高等数学》等，参与编写湘教版初中、高中数学教材。

前言
1一题多解架构初等、高等数学桥梁
1.1代数
1.2几何
1.3三角
1.4不等式
1.5杂题
2初等数学问题高等数学解答
2.1代数
2.2几何
2.3三角
2.4不等式
2.5杂题
3不等式与函数
3.1不等式篇
3.1.1均值不等式的引入和证明
3.1.2从课本上的简单不等式谈起——从初等数学到高等数学
3.1.3小学题？中学题？大学题？
3.1.4解读神证明
3.1.5也说Nesbitt不等式
3.1.6均值不等式的隔离
3.1.7答正切函数不等式猜想
3.1.8一个对数不等式的五种证法
3.1.9变式教学与数学背景
3.1.10三角不等式的证明——从用导数到不用导数
3.1.11高等数学思想指导完善初等数学错漏
3.2函数篇
3.2.1从常系数到变系数——从罗增儒教授的无奈谈起
3.2.2以康托函数为背景的函数题
3.2.3三次方程判别式问题两例
3.2.4三次方程和韦达定理
3.2.5洛必达法则及其替代品
3.2.6十五岁的图灵如何推导级数形式的反正切公式
3.2.7从f(x+y)=f(x)+f(y)说开去
3.2.8对开方迭代式的认识过程
4线性代数
4.1线性组合和线性无关
4.1.1漫谈线性组合
4.1.2已知根式解寻求原方程
4.2行列式解题
4.2.1行列式解代数问题举例
4.2.2行列式与面积
4.2.3从“经过已知三点的一元二次函数”谈起
4.2.4圆方程、三角形五心、圆幂定理
4.2.5海伦公式与托勒密定理的行列式统一公式
4.2.6行列式与射影定理
4.2.7行列式解几何题举例
5杂篇
5.1认识的深入
5.1.1不一样的加法和乘法
5.1.2从乘法是加法的简便运算谈起
5.1.3漫谈1+2+3+4+…+n
5.1.4向量
5.1.5结构与同构
5.1.6什么是距离
5.1.7绝对值多种定义以及分段函数定义缺陷
5.1.8无处不在的一一对应
5.1.9一定是斐波那契数列吗？
5.2初等数学、高等数学面面观
5.2.1特殊与一般——《吉米多维奇数学分析习题集》一题
5.2.2谈谈循环论证
5.2.3根式方程有理化
5.2.4包络线与赋范空间的一点小应用
5.2.5学贵有疑——《数学解题的特殊方法》一题
5.2.6证明sin2x+cos2x=1——《陶哲轩实分析》一题
5.2.7平方差公式的三角扩展
5.2.8从代数恒等式到三角恒等式
5.2.9例证法：从代数式到三角式
5.2.10勾股定理的三维推广
5.2.11一道多情形几何题的多种证明
5.2.12初等、高等数学不同视角一题多解更显风采
5.2.13你也可以做幻方
5.2.14剑桥大学的一道经典名题
5.2.15从高考题谈迭代
5.2.16微积分新概念的教学脚步何妨慢一点
5.2.17高等数学的“败笔”
5.2.18不好的高等数学解法举例
5.2.19陈省身没做出来的数学题
5.2.20相信付出才有回报
参考文献