大学数学应用问题集锦

《大学数学应用问题集锦》介绍与大学数学基础课程(高等数学、数学分析和常微分方程，也包括一小部分线性代数)相关的应用问题，主要是这些课程在数学和物理中的应用，希望能通过这些应用问题提高学生学习大学数学课程的积极性。本《大学数学应用问题集锦》的应用问题有一部分很简短，可作为简单的阅读材料，也有一些有相当难度，可作为探索内容。

“大学数学科学丛书”序
前言
第1章一元函数的导数1
1.1直接求导1
1.1.1极坐标和球坐标中质点的动能1
1.1.2平面旋转坐标系中的惯性力2
1.2Taylor公式与近似计算5
1.2.1位于地球表面的物体的重力势能5
1.2.2黑体辐射公式的低频和高频近似6
1.2.3狭义相对论的质能关系式6
1.2.4氢原子能级的精细结构7
1.2.5潮汐9
1.3单调性与优选最小值13
1.3.1抛体的最远距离13
1.3.2Wien位移定律15
1.3.3光的折射与Fermat原理15
1.3.4蜂巢的边界17
1.3.5实系数一元三次方程的实根个数18
1.3.6Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式19
1.3.7Lagrange点22
1.4凸性27
1.4.1Jensen不等式27
1.4.2平均值不等式28
第2章一元函数的积分32
2.1直接积分32
2.1.1旋转杯子中的水面32
2.1.2Buffon投针问题33
2.2微元法34
2.2.1绕在杆上的绳子34
2.2.2Poiseuille公式35
2.2.3火箭36
2.3平均37
2.3.1杆秤37
2.3.2水闸上压力的力矩38
2.3.3引力39
2.3.4交流电的平均39
第3章常微分方程42
3.1一阶常微分方程42
3.1.1有阻力时的抛体42
3.1.2单摆43
3.1.3悬链线45
3.1.4最速曲线46
3.2二阶线性常微分方程49
3.2.1带阻尼的受迫振动49
3.2.2电路中的初始条件52
3.3二阶非线性常微分方程及方程组53
3.3.1以恒力拉起链条53
3.3.2二体问题54
3.3.3过山车的轨道58
第4章多元函数的微积分63
4.1多元函数的微分63
4.1.1三角形的Fermat点63
4.1.2最小二乘法66
4.1.3定压热容量与定容热容量之差.68
4.1.4平衡态熵极大的推论70
4.2重积分73
4.2.1均匀球体产生的引力73
4.2.2均匀圆盘产生的引力74
4.3曲线积分、曲面积分与向量分析75
4.3.1极坐标下的梯度和散度77
4.3.2Archimedes定律79
4.3.3Maxwell方程组81
4.3.4Maxwell方程组的微分形式表示84
第5章级数与Fourier变换89
5.1函数项级数89
5.1.1Kepler第三定律推导中的一个积分89
5.1.2Stefan-Boltzmann定律90
5.2幂级数92
5.2.1Fibonacci数列92
5.2.2Catalan数94
5.2.3Legendre方程的解的收敛域97
5.2.4指数函数和三角函数的定义100
5.3Fourier级数103
5.3.1Gibbs现象103
5.3.2正弦级数和余弦级数105
5.3.3调幅波的Fourier级数107
5.3.4调频波的Fourier级数109
5.4Fourier变换111
5.4.1一个近似周期函数的Fourier变换112
5.4.2光栅的Fraunhofer衍射113
5.4.3一维热传导方程的求解116
5.4.4Heisenberg不确定性原理117
5.4.5圆孔的Fraunhofer衍射119
5.5离散Fourier变换121
5.5.1超长整数的乘法122
5.5.2一个近似周期函数的离散Fourier变换123
第6章线性代数126
6.1线性代数方程组126
6.1.1Thevenin定理126
6.1.2纯电阻电路中增加电阻128
6.2矩阵及其特征值133
6.2.1振动系统133
6.2.2三阶旋转矩阵的特征值和特征向量134
6.2.3角速度和旋转坐标系中的惯性力135
第7章变分法及其相关问题138
7.1变分法138
7.1.1球面上的测地线140
7.1.2最速曲线141
7.1.3地球表面两点间的最速曲线143
7.2与摆线相关的一个积分方程147
7.2.1等时摆I147
7.2.2等时摆II149
参考文献152
附录A复数的指数形式153
附录B电容和电感155
B.1电容155
B.2电感155
B.3容抗和感抗156
附录C二极管160
索引162
“大学数学科学丛书”已出版书目165