力学分析中的对称性和守恒律

对称性和守恒律是物质的状态和运动规律在对称变换下的性质。本书以力学分析中的对称性和守恒律为中心，尽量减少复杂数学理论的罗列，系统地、深入浅出地介绍了对称性和守恒律的主要基本理论和相关应用。第一篇首先介绍了Lie变换群、Lie代数等基本知识，讨论了方程组和微分方程组的Lie对称性和Lie-B?cklund对称性、高阶对称性，之后分别介绍了Noether守恒律、Ibragimov守恒律和势对称。第二篇是第一部分的推广，研究了扰动微分方程组的对称性与守恒律，分别给出近似Lie对称、近似Noether守恒律、近似Ibragimov守恒律和近似势对称的求解方法。第三篇通过大量例子，介绍了对称性和守恒律在弹性力学、流体力学、一般力学等领域的应用。

丛书序
前言
第1章变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子1
1.1变分原理与泛函1
1.2Euler-Lagrange方程2
1.2.1一阶泛函的驻立值问题2
1.2.2高阶泛函的驻立值问题4
1.3微分算子6
1.3.1全微分算子6
1.3.2Euler-Lagrange算子7
第2章常微分方程的Lie对称分析10
2.1单参数Lie变换群及其延拓10
2.1.1单参数Lie变换群10
2.1.2无穷小生成元14
2.1.3正则坐标16
2.1.4对称性17
2.1.5无穷小生成元的延拓18
2.2Lie代数24
2.2.1Lie代数与Lie括号24
2.2.2Lie代数的性质25
2.2.3可解Lie代数28
2.3正则变量方法求解微分方程29
2.3.1正则变量方法29
2.3.2求解微分方程步骤30
2.4微分方程的对称性34
2.4.1微分方程的对称性定理34
2.4.2一阶微分方程的决定方程35
2.4.3二阶微分方程的决定方程37
2.5Lie-B.cklund算子41
2.6Lie-B.cklund代数45
2.7Lie-B.cklund对称性.50
2.7.1扩展标架50
2.7.2Lie-B.cklund对称性表达式51
2.8多参数Lie变换群及其延拓56
2.8.1多参数Lie变换群及其无穷小生成元56
2.8.2双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓57
2.9基于符号计算系统的Lie对称分析60
2.9.1符号计算系统60
2.9.2常用符号计算软件61
第3章偏微分方程组的Lie对称分析63
3.1单参数Lie变换群及其延拓63
3.1.1单参数Lie变换群63
3.1.2无穷小生成元66
3.1.3无穷小生成元的延拓68
3.2方程组的对称性77
3.3微分方程组的对称性80
3.4Lie-B.cklund算子与代数83
3.4.1Lie-B.cklund算子83
3.4.2Lie-B.cklund代数86
3.5Lie-B.cklund对称性87
3.6多参数Lie变换群及其延拓94
3.6.1多参数Lie变换群及其无穷小生成元94
3.6.2双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓95
第4章Noether守恒律99
4.1具有单变量的物理系统的Noether守恒律100
4.1.1单变量情形下的Euler-Lagrange方程100
4.1.2单变量情形下的Noether守恒律及其证明100
4.2具有多变量的物理系统的Noether守恒律114
4.2.1多变量情形下的Euler-Lagrange方程114
4.2.2多变量情形下的Noether守恒律及其证明115
4.2.3关于部分/全表面边界条件的讨论130
4.3双参数变换群条件下的Noether守恒律132
4.3.1双参数单变量Noether定理132
4.3.2双参数多变量Noether定理135
第5章Ibragimov守恒律140
5.1伴随算子与伴随方程（组）140
5.1.1伴随算子140
5.1.2伴随方程——线性微分方程142
5.1.3伴随方程组——非线性微分方程组148
5.2伴随方程（组）的对称性150
5.2.1微分方程情形150
5.2.2微分方程组情形155
5.3Ibragimov守恒律表达式156
5.4双参数变换群条件下的Ibragimov守恒律159
第6章近似Lie对称性164
6.1近似Lie代数164
6.1.1近似Lie代数的定义164
6.1.2近似对称的代数性质165
6.1.3近似不变量167
6.2近似算子与算子近似阶次确定168
6.2.1近似Lie算子与近似Lie-B.cklund算子168
6.2.2算子近似阶次确定169
6.3微分方程（组）近似Lie对称的性质174
6.4方程组的近似Lie对称性176
6.5微分方程组的近似Lie对称性179
6.5.1微分方程组近似Lie对称性证明179
6.5.2近似Lie算子的延拓183
6.6近似Lie-B.cklund算子与对称性185
6.6.1近似Lie-B.cklund算子的延拓186
6.6.2近似Lie-B.cklund对称性186
第7章近似Noether守恒律194
7.1近似Noether算子与算子近似阶数确定194
7.1.1近似Noether算子194
7.1.2算子近似阶次确定195
7.2近似Noether守恒律及其求解方法199
7.2.1部分Lagrange函数199
7.2.2近似Noether守恒律表达式200
7.2.3求解方法总结201
第8章近似Ibragimov守恒律202
8.1伴随方程（组）的对称性202
8.1.1伴随方程组202
8.1.2微分方程情形203
8.1.3微分方程组情形206
8.2近似Ibragimov守恒律表达式209
第9章势对称与近似势对称212
9.1势对称含义212
9.2微分方程的势对称212
9.2.1偏微分方程的势对称213
9.2.2常微分方程的势对称218
9.2.3原方程和辅助系统的Lie对称变换220
9.2.4守恒形式220
9.3微分方程的近似势对称221
第10章弹性力学中的应用224
10.1杆的平衡方程的守恒律224
10.2梁的平衡方程的守恒律226
10.3平面问题的位移法方程的对称性和守恒律229
10.3.1Lie对称性230
10.3.2Noether守恒律234
10.4三维问题的位移法方程的对称性237
10.5疲劳裂纹扩展方程的对称性和守恒律246
10.5.1Lie对称性247
10.5.2Lie-B.cklund对称性248
10.5.3Noether守恒律250
10.5.4Ibragimov守恒律250
10.6功能梯度材料的路径无关积分与裂纹扩展力251
10.6.1均质材料平面问题的守恒律252
10.6.2功能梯度材料的路径无关积分254
10.6.3裂纹扩展力256
10.7物理平面上解析函数的守恒积分及其应用257
10.7.1解析函数的守恒积分257
10.7.2关于守恒积分的讨论262
10.7.3平面弹性体裂纹的守恒积分263
10.8V型平面缺口问题中的守恒积分及其应用265
10.8.1基于平面弹性力学复势理论的Lagrange函数266
10.8.2基于Noether定理的守恒律269
10.8.3在V型缺口问题中的应用271
10.9纵向剪切问题中V型缺口的守恒积分及其应用276
10.9.1Lie对称分析277
10.9.2守恒积分281
10.9.3在尖锐V型缺口问题中的应用283
第11章流体力学中的应用292
11.1KdV方程的变分对称性292
11.2KdV方程的高阶对称性294
11.2.1伴随方程与Lagrange函数294
11.2.2守恒律295
11.3扰动KdV方程的高阶近似对称性301
11.4mKdV方程的Ibragimov守恒律305
11.4.1Ibragimov守恒律305
11.4.2微分Lagrange算子方法.308
11.5Maxwell分布的Ibragimov守恒律310
11.6Navier-Stokes系统的Ibragimov守恒律312
第12章一般力学中的应用316
12.1三维情况质点系统的守恒定律316
12.1.1时间平移不变性——能量守恒321
12.1.2空间平移不变性——动量守恒321
12.1.3空间旋转不变性——角动量守恒322
12.2自由落体运动的守恒律323
12.3一维阻尼振子的守恒律325
12.4一维运动方程的Ibragimov守恒律325
12.5两质点系统扰动方程的近似对称性和守恒律327
12.5.1近似Lie对称性328
12.5.2近似Noether对称性331
12.5.3近似Ibragimov守恒律333
12.6含扰动结构动力响应方程的近似对称性和守恒律334
12.6.1近似Lie对称性335
12.6.2近似Noether守恒律343
12.7非线性振动方程的对称性和守恒律348
12.7.1一般形式非线性振动方程的对称性和守恒律348
12.7.2Duffing振动方程的对称性和守恒律356
12.7.3Duffing振动方程的分叉现象362
12.7.4Duffing振动方程的守恒律和分叉现象的关系364
12.8颤振方程的对称性和守恒律364
12.8.1线性气动力和力矩365
12.8.2非线性气动力和力矩374
第13章数学物理方程中的应用380
13.1热传导方程的Ibragimov守恒律380
13.1.1伴随方程与Lagrange函数380
13.1.2守恒律381
13.2非线性热传导方程的Ibragimov守恒律385
13.2.1伴随方程与Lagrange函数385
13.2.2守恒律390
13.3非线性热传导方程的势对称393
13.4Burger方程的势对称394
13.5非均匀介质中波动方程的势对称395
13.6非均匀介质中扰动波动方程的近似势对称398
13.7带有扰动对流项的非线性扩散方程的近似势对称401
13.8Duffing方程的Lie对称性404
13.8.1确定性外力405
13.8.2均值为0的随机外力408
13.9VanderPol方程的Lie对称性411
13.9.1确定性外力412
13.9.2均值为0的随机外力414
13.10布朗运动的Lie对称性418
13.10.1无其他外力419
13.10.2特殊外力422
13.11扰动线性波方程的近似守恒律425
13.11.1近似Noether守恒律425
13.11.2近似Ibragimov守恒律429
13.12扰动非线性波方程的近似Noether守恒律433
参考文献438
索引447