高等数学物理方法

本书内容包含了曲线论、曲面论、张量分析、变分法和积分方程的理论和应用背景。作者针对电子类和应用物理类高年级学生和研究生，需要面广、又有一定深度数学知识，而学生对于此类知识缺乏相应基础的特点，结合专业特色深入浅出地撰写了本书。读者只要具有高等数学、线性代数和微分方程的基础知识就可以顺利地阅读本书。本书介绍的内容是数学物理方法的后续，是电子类和应用物理类高年级本科生和研究生在后续课程学习和科学研究中的难点。

前言
第1章一元矢量函数与曲线论基础1
1.1一元矢量函数的基本概念1
1.2矢量函数的微分与泰勒展开式5
1.3矢量函数的积分和微分方程10
1.4三个特殊的矢量函数与微分几何的概念12
1.5空间曲线的自然参数方程17
1.6曲线自然方程的建立与曲线族的包络19
1.7空间曲线的曲率24
1.8Frenet坐标架与挠率27
1.9曲线论的基本公式与基本定理35
1.10曲线在一点的标准展开和应用43
1.11平面曲线的曲率和Frenet标架50
1.12整体微分几何和卵形线58
习题165
第2章曲面论基础与应用67
2.1二元矢量函数和曲面的矢量表示67
2.2曲面的切平面和法线矢量71
2.3曲面的第一基本形式79
2.4曲面的等距映射84
2.5曲面的保角映射89
2.6曲面的第二基本形式94
2.7曲面曲线的法曲率、主曲率和主方向100
2.8曲面点的邻近结构分析107
2.9曲面论的基本公式、基本定理和基本方程115
2.10Gauss映射和曲面的第三基本形式122
2.11曲面的测地曲率与测地线128
2.12测地坐标系、短程线和Gauss-Bonnet定理136
习题2146
第3章笛卡儿张量与应用149
3.1矢量代数149
3.2笛卡儿张量的概念156
3.3笛卡儿张量定义与性质163
3.4笛卡儿张量的代数运算176
3.5笛卡儿张量场论1：导数、梯度与散度184
3.6笛卡儿张量场论2：旋度与张量的积分193
3.7二阶笛卡儿张量203
3.8二阶对称笛卡儿张量及其几何表示212
习题3219
第4章张量的普遍理论221
4.1斜角直线坐标系中的协变量及其对偶量221
4.2曲线坐标系矢量和基与坐标变换228
4.3张量的普遍定义与度规张量236
4.4张量的代数运算245
4.5基矢量的导数与Christoffel符号253
4.6张量场理论259
4.7物理标架下的张量场269
习题4279
第5章变分法281
5.1有关变分问题的实际例子281
5.2变分法的基本原理及性质283
5.3泛函的欧拉方程287
5.4含有多个未知函数与高阶导数的泛函291
5.5多元函数的泛函数极值问题295
5.6端点不变的自然边界条件和自然过渡条件下的变分法299
5.7可动边界的变分问题306
5.8条件极值的变分问题——测地线问题314
5.9条件极值的变分问题——等周问题319
5.10直接变分法及其应用326
5.11偏微分方程边值问题的直接与半直接变分法337
习题5345
第6章积分方程基础349
6.1积分方程的起源与概念349
6.2积分方程与微分方程的联系355
6.3逐次逼近法解Volterra方程360
6.4Volterra第一类方程的解法365
6.5Volterra方程的其他解法374
6.6Fredholm第二类方程的解法379
6.7可分核的Fredholm方程解法386
6.8Green函数与对称核积分方程392
6.9Hilbert-Schmidt理论与非齐次Fredholm方程的解法402
6.10诺伊曼级数与Fredholm理论411
6.11奇异积分方程416
6.12Fredholm方程的近似解法420
习题6430
参考文献433