凸分析讲义——凸集的表示及相关性质

《凸分析讲义：凸集的表示及相关性质》重点介绍了凸函数的极、对偶运算、凸集的面、多面体凸集、多面体凸函数、Helly定理、不等式系统等相关内容。前两章是对偶理论的基础工具。后面则重点阐述了凸集的内、外部表达形式和相关性质，并将结果应用于线性和非线性不等式系统。这些内容都是凸性理论的进一步细化和拓展。为了增强可读性，《凸分析讲义：凸集的表示及相关性质》将抽象的概念用简单的例子和直观的图像来表达，以便加深读者对知识的理解和把握。同时，将知识点与优化部分前沿研究内容进行有机结合，希望可以为读者提供一些基础理论在前沿科学研究课题中的方向。

前言
第1章凸函数的极1
1.1度规函数的极函数1
1.2范数6
1.3度规型函数12
1.4一般函数的极23
1.5函数的对立27
1.6练习32
本章思维导图33
第2章对偶运算34
2.1简单函数变换下的对偶运算34
2.2线性变换下函数的对偶运算35
2.3卷积运算下的对偶运算42
2.4凸包运算的对偶运算50
2.5练习55
本章思维导图56
第3章Carathéodory定理57
3.1预备知识57
3.2广义单纯形62
3.3Carathéodory定理及证明64
3.4不同情形下的讨论69
3.5凸包闭性的进一步讨论79
3.6Carathéodory定理的对偶结论83
3.7练习86
本章思维导图87
第4章极点和凸集的面88
4.1凸集的面88
4.2面的相关性质92
4.3凸集与其面的关系94
4.4凸集的内部表示100
4.5凸集的外部表示105
4.6关于暴露向量的进一步讨论107
4.7练习108
本章思维导图109
第5章多面体凸集和多面体凸函数110
5.1多面体凸集的定义110
5.2多面体凸集的等价刻画113
5.3多面体凸函数116
5.4不同运算下的“多面体”性质120
5.5回收锥与回收函数的相关性质126
5.6练习129
本章思维导图130
第6章多面体凸性的一些应用131
6.1函数卷积的情形131
6.2凸集的分离134
6.3凸集和的闭性140
6.4练习142
本章思维导图143
第7章Helly定理与不等式系统144
7.1基本定义144
7.2择一性定理145
7.3仿射函数的情形147
7.4函数类的情形150
7.5关于回收假设的进一步讨论155
7.6关于Helly定理中假设的进一步讨论163
7.7练习169
本章思维导图170
第8章线性不等式系统171
8.1线性不等式系统的择一性定理171
8.2线性不等式系统的矩阵描述及对偶系统174
8.3基本向量177
8.4基本向量的性质179
8.5关于区间的择一性定理182
8.6Tucker互补定理186
8.7练习188
本章思维导图189
参考文献190