认识数学 1

本书是《认识数学》系列数学科普书的第一卷，由10篇文章组成，作者均是中国科学院数学院系统科学研究院的科研人员。内容包括黎曼猜想——引无数英雄竞折腰，三角往事，凭声音能听出鼓的形状吗，三体问题——天体运行的数学一瞥，图论就在我们身边，孤立子背后的数学，真的吗？如何检验？群体运动中的数学问题，剑桥分析学派，数学的意义。文章选题的主要考虑因素是有趣、深刻和重要，写作力求引人入胜。

序
1 黎曼猜想——引无数英雄竞折腰 席南华
1.1 素数 1
1.2 欧拉对素数有无穷多个的证明 3
1.3 高斯和勒让德关于素数分布的猜想 8
1.4 黎曼zeta函数 10
1.5 黎曼zeta函数的零点的研究 14
1.5.1 非平凡零点的实部在0和1之间 14
1.5.2 黎曼-曼戈尔特公式 15
1.5.3 数值计算 16
1.5.4 理论研究 20
1.5.5 零点的分布规律 22
1.6 黎曼猜想的一些等价形式 24
1.7 黎曼猜想的影响 26
1.7.1 狄利克雷L函数 26
1.7.2 更一般的L函数 27
1.7.3 韦伊猜想 28
参考文献 28
2 三角往事 周正一
2.1 欧氏几何和三角形内角和 35
2.2 什么是直线？ 38
2.3 非欧几何学 39
2.4 内蕴和外嵌——披萨饼的几何学 43
2.5 三角形内角和、曲率和拓扑 49
2.6 结束语——既是量子世界，也是星辰大海 52
参考文献 54
3 凭声音能听出鼓的形状吗 刘晓东 张波
3.1 振动弦 55
3.2 振动膜 63
3.3 听音辨鼓 65
参考文献 70
4 三体问题——天体运行的数学一瞥 张建路
4.1 引言 72
4.2 自然法则的数学语言 73
4.3 三体问题——瑞典国王奥斯卡二世的一个悬赏问题 77
4.4 轨道的分类 83
4.5 KAM：星系的稳定性 85
4.6 变分法与对称轨道 88
4.7 回溯：时代的伟大与新挑战 91
参考文献 93
5 图论就在我们身边 陈旭瑾
5.1 哥尼斯堡七桥问题：能找到理想的游历路线吗？ 96
5.2 拉姆齐数：聚会中有多少人彼此（不）相识？ 99
5.3 平面图：令人满意的土地划分方案存在吗？ 105
5.4 四色问题：地图染色用四种颜色够了吗？ 112
5.5 握手引理：与奇数个人握过手的人数一定是偶数吗？ 116
5.6 树图：有效连通（访问）网络的方式有哪些？ 120
5.7 哈密顿圈：环游世界的路线存在吗？ 125
5.8 图论优化：如何在图中快速寻优？ 129
5.9 结束语 142
参考文献 143
6 孤立子背后的数学 常向科 胡星标
6.1 Russell与孤立波的故事 145
6.2 Korteweg-de Vries方程 148
6.3 Fermi-Pasta-Ulam问题与孤立子 151
6.4 反散射方法 155
6.5 孤立子与可积系统及其应用 158
6.6 结束语 161
参考文献 162
7 真的吗？如何检验？ 何煦 李辉
7.1 从女士品茶引发的检验说起 166
7.2 能用星座预测诺贝尔文学奖吗？ 168
7.3 假设检验的基本思想和方法 171
7.3.1 建立原始假设和备选假设 171
7.3.2 两类错误 171
7.3.3 显著性水平 172
7.3.4 选取或构造检验统计量 173
7.3.5 利用p值进行决策 175
7.4 假设检验的小历史 176
7.5 成也p值，败也p值 177
7.5.1 舍弃原始假设的含义 178
7.5.2 保留原始假设的含义 179
7.5.3 相关性与因果性 180
7.5.4 多重检验陷阱 183
7.5.5 结束语 185
参考文献 186
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