高等几何

本书是按照高等院校《高等几何教学大纲》的要求，同时结合作者多年来开设高等几何课程的教学实践，以及对高等几何面向21世纪的课程体系和教学内容的深入研究编写而成的。本书共分五章：前四章是根据克莱因的变换群观点，以射影变换为基本线索，介绍一维和二维射影几何的基本内容和射影观点下的仿射几何与欧氏几何理论，其中重点讨论二次曲线的射影、仿射和度量理论，以明确各几何学的关系，使读者可以从较高的观点认识初等几何；第五章为选学内容，介绍平面射影几何基础和非欧几何的初步知识。本书每节配有适量的习题，每章还配有总习题，书末附有习题答案与提示，以便于教师教学与学生自学。为了激发学生学习射影几何的兴趣，书末添加了一个附录，简要介绍射影几何的发展史。
本书可作为高等院校数学专业高等几何课程的教材，还可供中学几何教师作为教学参考书。

第一章 射影平面
§1.1 无穷远(理想)元素
一、射影几何
二、中心投影
三、无穷远(理想)元素
习题1.1
§1.2 齐次坐标
一、齐次坐标的引进
二、射影平面的定义
三、有序三实数组的运算
四、射影平面上的直线及点线结合关系
习题1.2
§1.3 对偶原理和Desargues透视定理
一、平面图形
二、Desargues透视定理
三、对偶原理
习题1.3
§1.4 射影坐标与射影坐标变换
一、一维射影坐标与坐标变换
二、二维射影坐标与坐标变换
习题1.4
习题一
第二章 射影变换
§2.1 射影变换
一、变换的概念
二、一维射影映射
三、二维射影映射
习题2.1
§2.2 交比
一、交比的概念
二、配景定理
三、交比的性质
四、交比与一维射影坐标
五、交比与射影映射
六、用交比解释的几个概念
习题2.2
§2.3 透视映射
一、透视映射的定义
二、构成透视映射的条件
三、透视映射与射影映射
四、Pappus定理
五、接近四点形和接近四线形
六、直线(线束)上的射影变换
习题2.3
§2.4 对合变换
一、对合的定义
二、对合变换的确定
三、对合变换与射影变换
四、对合变换的类型
五、Desargues对合定理
习题2.4
§2.5 直射变换
一、二重元素
二、透射变换
三、调和透射变换
四、合射变换
五、各种特殊直射变换的表达式
六、射影变换与初等几何变换
习题2.5
习题二
第三章 配极变换和二次曲线
§3.1 配极变换
一、对射变换
二、配极变换的概念
三、共轭点和共轭直线
四、由配极变换导出的一维对合变换
五、自配极三点形
六、配极变换的类型
习题3.1
§3.2 二次曲线
一、二次曲线的概念
二、极点与极线
三、二次曲线方程的另一简化形式
四、 Steiner定理
习题3.2
§3.3 Pascal定理和Brianchon定理
一、Pascal定理
二、Brianchon定理
习题3.3
§3.4 二次曲线上的射影变换和射影分类
一、二次曲线上的射影变换
二、二次曲线上的对合变换
三、一次点列和二次点列的透视对应
四、二次曲线的射影分类
习题3.4
习题三
第四章 射影观点下的仿射几何与欧氏几何
§4.1 仿射变换与仿射几何
一、仿射平面
二、平面仿射坐标系
三、仿射比
四、仿射变换
习题4.1
§4.2 二次曲线的仿射理论
一、二次曲线的仿射性质
二、二次曲线的仿射分类与标准方程
习题4.2
§4.3 运动变换与欧氏几何
一、虚元素的引进
二、运动变换
三、笛卡儿直角坐标系
四、拉格儿公式
习题4.3
§4.4 二次曲线的度量理论
一、圆的一些性质
二、二次曲线的主轴和顶点
三、二次曲线的焦点和准线
四、在解析几何中的应用举例
习题4.4
§4.5 变换群与几何学
一、克莱因的变换群观点
二、三种几何学的比较
习题4.5
习题四
第五章 平面射影几何基础与非欧几何概要
§5.1 公理法简介
一、公理法的建立与非欧几何的诞生
二、公理体系的三个基本问题
习题5.1
§5.2 平面实射影几何的公理体系
一、平面实射影几何的公理体系
二、平面实射影几何公理体系的相容性
习题5.2
§5.3 非欧几何概要
一、双曲几何与椭圆几何
二、射影测度
三、罗氏几何的射影模型
四、 黎曼几何的射影模型
习题5.3
习题五
附录
参考文献
名词索引
习题答案与提示