有限马尔可夫链的统计计算

本书介绍近些年来关于马尔可夫链的统计推断的一些研究新结果:可逆马尔可夫链和不可逆平稳D-马尔可夫链统计计算理论，使用的方法是我们建立的马尔可夫链反演法。第1章介绍本书需要的一些预备知识。第2章介绍马尔可夫链的击中分布和禁忌速率，主要是击中分布的微分性质、矩性质及对称函数性质有关的约束方程，以及马尔可夫链反演法。第3章和第4章分别研究连续时间和离散时间有限状态可逆马尔可夫链的统计计算理论，总结性地给出了关于充分性、必要性和充分必要性的主要结论。第5章以连续时间有限状态空间为例研究不可逆平稳D-马尔可夫链的统计计算理论。第6章讲述各种类型马尔可夫链的统计计算算法、数值例子，以及在计算神经科学、经济领域等的实际应用。第7章从统计的角度介绍基本的模型选择方法。

第1章预备知识1
1.1概率空间与随机变量1
1.2几种常用分布4
1.2.1几何分布与指数分布4
1.2.2混合几何分布与混合指数分布5
1.3几种常用的参数估计7
1.3.1矩估计7
1.3.2极大似然估计8
1.3.3EM算法10
1.3.4混合几何分布与混合指数分布的估计10
1.4马尔可夫链12
1.5离散时间马尔可夫链的生成元15
1.5.1平稳分布与可逆性16
1.5.2禁忌概率18
1.6连续时间马尔可夫链的生成元19
1.6.1Q-过程及轨道性质19
1.6.2平稳分布与可逆性21
1.6.3禁忌概率与禁忌速率22
1.7马尔可夫链的拓扑结构24
第2章可逆马尔可夫链的击中分布及反演法框架27
2.1连续时间可逆马尔可夫链的击中分布及性质27
2.1.1击中时分布28
2.1.2禁忌速率刻画击中分布的微分性质29
2.1.3击中分布的矩性质36
2.1.4击中分布指数的对称函数性质37
2.2离散时间可逆马尔可夫链的击中分布及性质38
2.2.1击中时分布39
2.2.2修正禁忌概率刻画击中分布与转移矩阵的约束关系41
2.3马尔可夫链反演法框架46
2.3.1马尔可夫链的统计计算问题46
2.3.2原始观测数据及数据拟合47
2.3.3马尔可夫链的可确认性49
第3章连续时间可逆马尔可夫链的统计计算51
3.1生灭链的统计计算51
3.1.1证明思路52
3.1.2归纳证明53
3.1.3由两相邻状态的观测确认55
3.2星形分枝链的统计计算58
3.2.1由各分枝叶子状态的观测确认59
3.2.2由中心状态及其相邻状态观测确认64
3.2.3由每个分枝中任意两相邻状态的观测确认75
3.3星形链的统计计算76
3.3.1由中心状态的观测确认77
3.3.2由各叶子状态的观测确认78
3.4层次模型链的统计计算79
3.4.1由叶子状态的观测确认80
3.4.2由中层状态的观测确认82
3.5树形链的统计计算85
3.5.1一般树形链的统计计算85
3.5.2基本结论86
3.5.3主要结论89
3.5.4几类特殊树形链的统计计算91
3.6环形链的统计计算96
3.6.1借鉴生灭链证明98
3.6.2任意两相邻状态观测的证明100
3.6.3给定两相邻状态观测的证明102
3.6.4四个状态的环形链110
3.7有环链的统计计算112
3.7.1潘图单环链112
3.7.2最简单的单环链121
3.7.3蝌蚪图单环链127
3.7.4一般单环链:环形与树形组合131
3.7.5双环链140
3.8一般马尔可夫链的统计计算145
3.8.1马尔可夫链子模型的统计计算145
3.8.2基本结论和准则151
3.8.3一般性通用结论156
第4章离散时间可逆马尔可夫链的统计计算158
4.1离散时间线形马尔可夫链的统计计算158
4.2离散时间可逆环形马尔可夫链的统计计算160
4.2.1借鉴线形链证明161
4.2.2任意两相邻状态观测的证明163
4.3一般性通用结论166
第5章不可逆平稳马尔可夫链的统计计算167
5.1连续时间不可逆平稳马尔可夫链的击中分布及性质167
5.1.1击中分布167
5.1.2禁忌速率刻画击中分布的微分性质171
5.1.3击中分布的矩性质174
5.2马尔可夫链的环流和环流分解175
5.3连续时间不可逆平稳有环链的统计计算177
5.3.1环形链的统计计算177
5.3.2双环链的统计计算190
5.3.3一般性通用结论194
第6章统计算法、数值例子和应用195
6.1统计算法195
6.1.1生灭链统计算法195
6.1.2星形分枝链统计算法198
6.1.3星形链统计算法199
6.1.4层次模型链统计算法200
6.1.5树形链统计算法200
6.1.6环形链统计算法205
6.1.7单环链统计算法209
6.1.8双环链统计算法214
6.1.9不可逆平稳双向环形链统计算法216
6.2数值例子216
6.2.1生灭链数值例子217
6.2.2环形链数值例子220
6.2.3星形分枝链数值例子222
6.2.4层次模型链数值例子226
6.2.5潘图形单环链数值例子228
6.2.6树形链数值例子230
6.2.7一般单环链数值例子234
6.2.8不可逆平稳双环链数值例子239
6.2.9最小环形链数值例子246
6.3神经科学领域的应用249
6.3.1应用背景249
6.3.2离子通道实例260
6.4经济领域的应用262
第7章模型选择与误差传播268
7.1模型选择方法268
7.1.1AIC269
7.1.2BIC270
7.2马尔可夫链模型选择270
7.3马尔可夫链反演法的误差传播276
参考文献279
索引288