量子张量网络机器学习

第1章 量子力学基本概念 1
1.1 量子力学的三大奥义——叠加、测量和纠缠 3
1.1.1 第一大奥义：线性代数中的线性组合与量子叠加态 4
1.1.2 第二大奥义：线性代数中的内积、特征值、特征向量与量子比特的测量 8
1.1.3 第三大奥义：量子纠缠 11
1.2 量子逻辑门 14
1.2.1 单量子逻辑门 14
1.2.2 双量子逻辑门 16
1.2.3 三量子逻辑门 17
1.3 量子寄存器、量子逻辑门、量子叠加态与并行处理的关系 18
1.3.1 量子寄存器、量子叠加态与并行处理 18
1.3.2 量子逻辑门、量子叠加态与并行计算 20
1.4 不确定性原理 20
1.5 经典概率在复数域的扩充——量子概率简介 23
1.5.1 当i进入物理学 23
1.5.2 概率复数化 23
1.5.3 概率分布与向量表示 25
1.5.4 事件与Hilbert空间 26
1.5.5 不相容属性及其复数概率表示 27
1.6 量子概率体系 29
1.6.1 事件 29
1.6.2 互斥事件 30
1.6.3 概率与测量 31
1.6.4 不相容属性对及其测量区分顺序性 32
1.6.5 相容属性对及其测量不区分顺序性 33
1.6.6 量子概率与经典概率的区别 34
1.7 量子测量——测量公设的量子信息学描述 34
1.8 密度算符 36
1.8.1 具体到坐标表象 37
1.8.2 纯态下的密度算符 37
1.8.3 混合态下的密度算符 38
1.8.4 密度算符的性质 38
1.8.5 量子力学性质的密度算符描述 39
1.8.6 约化密度算符 39
参考文献 40
第2章 量子算法 41
2.1 什么是量子算法？ 41
2.2 Grover算法 42
2.2.1 背景介绍 42
2.2.2 经典搜索算法的一般形式 43
2.2.3 Grover算法中的Oracle 44
2.2.4 Grover算法中的阿达马(Hadamard)变换 44
2.2.5 Grover迭代的内部操作细节 45
2.2.6 Grover算法的二维几何表示 46
2.3 Shor算法 49
2.3.1 RSA公钥密码体系及安全性 49
2.3.2 Shor算法理论分析 50
2.4 HHL算法 54
2.4.1 基本假设 54
2.4.2 制备过程 55
2.4.3 量子计算算法的一般步骤 55
2.5 设计量子算法的方法学 55
参考文献 56
第3章 张量基础 57
3.1 张量的定义 57
3.1.1 生活实例的张量解释 58
3.1.2 计算机中的张量表示 59
3.2 张量的纤维和切片 60
3.3 矩阵化——张量展开 60
3.4 张量乘法 62
3.4.1 张量内积 62
3.4.2 张量乘以矩阵 62
3.4.3 张量Kronecker积 63
3.4.4 张量Hadamard积 64
3.4.5 Khatri-Rao积 65
3.5 超对称和超对角 66
3.6 张量的秩 66
3.7 张量分解 68
3.7.1 CP分解 68
3.7.2 带权CP分解 74
3.7.3 Tucker分解 74
参考文献 82
第4章 张量网络与量子多体物理系统 83
4.1 张量的图解表示法 83
4.1.1 矩阵的图解表示 84
4.1.2 各阶张量的图解表示 84
4.2 张量的运算图解表示法 85
4.2.1 矩阵乘法的图解表示法 85
4.2.2 各阶张量的运算图解表示法 90
4.3 张量网络 93
4.3.1 张量网络的定义 93
4.3.2 传统图示法与新张量网络图解法对比呈现 94
4.4 从张量网络到量子多体物理系统 95
4.5 四种典型张量网络态 95
4.5.1 矩阵乘积态(MPS) 98
4.5.2 投影纠缠对态(PEPS) 100
4.5.3 树状张量网络(TTN)态 100
4.5.4 多尺度纠缠重整化假设(MERA)态 101
参考文献 102
第5章 量子多体系统的张量网络态算法 104
5.1 绝对值优选本征值问题 105
5.2 奇异值分解与很优低秩近似问题 106
5.2.1 优选奇异值与奇异向量的计算 107
5.2.2 张量秩一分解与其很优低秩近似 107
5.2.3 高阶奇异值分解与其很优低秩近似 108
5.3 多体系统量子态与量子算符 109
5.3.1 量子态系数 109
5.3.2 单体算符的运算 109
5.3.3 多体算符的运算 111
5.4 经典热力学基础 112
5.4.1 量子格点模型中的基态问题 114
5.4.2 磁场中二自旋海森伯模型的基态计算 114
5.4.3 海森伯模型的基态计算——退火算法 115
5.5 矩阵乘积态与量子纠缠 118
5.6 矩阵乘积态的规范自由度与正交形式 120
5.6.1 规范变换与规范自由度 120
5.6.2 K-中心正交形式 121
5.6.3 基于K-中心正交形式的很优裁剪 122
5.6.4 正则形式 122
5.7 TEBD算法 123
5.8 一维格点模型基态的TEBD算法计算 126
5.9 密度矩阵重整化群 131
5.10 基于自动微分的基态变分算法 135
5.11 矩阵乘积态与纠缠熵面积定律 136
5.12 张量网络收缩算法 139
5.12.1 张量网络的很优低秩近似 140
5.12.2 张量重整化群算法 142
参考文献 146
第6章 基于张量网络的量子机器学习 147
6.1 在量子空间(Hilbert空间)编码图像数据 149
6.2 利用约化密度矩阵对图片进行特征提取 152
6.3 利用张量网络实现分类任务 154
6.4 基于张量网络的监督学习 157
6.4.1 基于MPS监督学习模型 157
6.4.2 利用TTN进行特征提取的MPS模型 160
6.4.3 混合张量网络模型 163
6.4.4 量子卷积神经网络模型 165
6.4.5 概率性图像识别模型 166
参考文献 169
彩色附图