偏微分方程数值解

本书的编写体现了作者严谨的教学态度，从符号的统一、语言的使用、结构的安排等方方面面的细节都是经过作者认真的考虑和仔细的打磨。想在偏微分方程这一方向继续深入学习的学生，这本书是值得一看的；想理论结合应用多角度讲授偏微分方程的高校老师，这本书更是值得选用的。

本书主要介绍了求解偏微分方程定解问题的两大类基本方法：有限差分方法和有限元方法。全书共分九章，第一章为绪论，第二章至第五章先后介绍了求解椭圆型、双曲型和抛物型方程定解问题的基本有限差分方法，以及稳定性、收敛性分析的相关理论知识，后面四章依次为变分方法、有限元方法的构造与理论基础、椭圆型方程有限元方法的MATLAB编程，以及二维问题有限元方法的误差分析等。本书强调通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的讲解模式，从直观和理论两方面解读如何合理构造求解偏微分方程定解问题的数值方法，同时也介绍了如何利用MATLAB软件实现网格剖分和有限元编程，从而达到学之能用，甚或开拓创新的目的。本书可供高年级本科生和研究生作为相关课程的教材使用，也是从事科学与工程计算的研究人员的一本有价值的参考读物。

上海交通大学数学科学学院教授、博士生导师。主要研究方向为：有限元方法与应用、快速算法设计与分析，以及机器学习算法设计与应用，发表学术论文100余篇。主要讲授“微分方程的高性能计算”“微分方程数值解”“科学计算”和“中国传统文化中的数学算法”等课程。2006年获教育部新世纪优秀人才称号，2016年获上海市育才奖，2017年获上海市教学成果一等奖（排名第4），两次受邀在世界华人数学家大会做45分钟邀请报告。先后主持和承担国家自然科学基金面上项目和其他国家与省部级项目多项。

第一章绪论
1.1解方程是数学应用于实践的魅力所在
1.2微分方程数值解(科学计算)的必要性
1.2.1微分方程数值解(科学计算)的广泛应用
附录：KdV方程(1.1)行波解(1.2)的导出
习题1
参考文献
第二章椭圆型方程的差分方法
2.1从一个简单例子谈起
2.2求解线性代数方程组的几类基本迭代法
2.3求解矩形域上Poisson方程的五点差分格式
2.3.1五点差分格式
2.3.2理论分析
2.3.3离散后线性方程组的基本求解方法
2.4求解五点差分格式的快速DST方法
2.4.1矩阵方程
2.4.2矩阵方程的求解
2.4.3离散正弦变换及应用
2.4.4求解五点差分格式的快速DST方法和其他方法的计算效果
2.5求解矩形域上Poisson方程的紧致差分格式
2.5.1两点边值问题(2.1)的紧致差分格式
2.5.2Poisson方程紧致差分格式的构造
2.5.3求解Poisson方程紧致差分格式的快速算法
2.6求解椭圆型方程一般差分格式的极值原理
2.6.1椭圆型差分格式的一般形式
2.6.2极值原理I与优选模估计
2.6.3极值原理II与优选模估计
习题2
参考文献
第三章发展方程有限差分法的基本概念和理论
3.1有限差分法的构造
3.1.1解域的离散
3.1.2用数值微分法建立差分格式
3.2构造差分格式的有限体积法
3.3差分格式的截断误差、相容性和构造差分格式的待定系数法
3.4差分格式的收敛性与稳定性
3.5判别差分格式稳定性的Fourier方法
3.6Von-Neumann条件及在差分格式稳定性分析中的应用
3.7差分格式稳定性的其他研究方法
附录差分格式的抽象框架与Lax等价性定理
习题3
参考文献
第四章双曲型方程的差分方法
4.1一阶线性常系数双曲型方程初值问题
4.2CFL条件
4.3利用特征线构造差分格式
4.4差分格式的耗散、色散与余项效应分析
4.4.1耗散与色散
4.4.2差分格式的修正偏微分方程(MPDE)
4.4.3基于修正偏微分方程的耗散和色散分析
4.4.4基于修正偏微分方程构造改进的差分格式
4.5一阶变系数双曲型方程初值问题
4.5.1解的存在、专享性
4.5.2差分方法及稳定性分析
4.6一阶双曲型方程的初边值问题
4.7二阶双曲型方程
附录Hadmard定理的证明
习题4
参考文献
第五章抛物型方程的差分
5.1一维常系数抛物型方程初值问题
5.2一维变系数抛物型方程初值问题
5.3初边值问题
5.4对流扩散方程
5.5Richardson外推法
5.5.1外推法与_的高效计算
5.5.2差分方程的外推法
5.6二维抛物型方程的差分方法
5.7算子分裂方法
5.7.1从一个简单例子谈起
5.7.2分裂格式的半群理解
5.7.3算子分裂方法在抛物型方程差分方法中的应用
习题5
参考文献
第六章变分方法
6.1历史背景
6.2变分问题解的必要条件
6.3二次函数极值问题
6.4一维区域上的Sobolev空间
6.5一维变分问题
6.6二维变分问题
6.7变分问题的近似计算
附录高维Sobolev空间初步
习题6
参考文献
第七章有限元方法的构造与理论基础
7.1一维椭圆问题的有限元方法——线性元
7.1.1有限元空间的构造
7.1.2有限元方程组的形成
7.2一维椭圆问题线性有限元方法的理论分析
7.2.1可解性分析
7.2.2收敛性分析
7.3后验误差估计及自适应有限元方法
7.3.1网格剖分的重要性
7.3.2后验误差估计
7.3.3自适应有限元方法
7.4二维椭圆问题的有限元方法
7.4.1单元划分及试探函数空间的形成
7.4.2有限元方程的形成
7.4.3约束条件处理
7.4.4单元积分的计算
习题7
参考文献
第八章椭圆型方程有限元方法的MATLAB编程
8.1模型问题
8.1.1问题的Galerkin离散
8.1.2区域-的剖分信息
8.1.3刚度矩阵的组装
8.1.4右端项的组装
8.1.5Dirichlet条件的处理
8.1.6数值解的计算和显示
8.1.7求解二维Poisson问题的完整MATLAB程序
8.2数值实验
8.2.1一维椭圆型方程的求解算例
8.2.2二维椭圆型方程的求解算例
8.3MATLAB网格数据与区域描述
8.3.1MATLAB网格数据的使用
8.3.2MATLAB区域描述方法
习题8
参考文献
第九章二维问题有限元方法的误差分析
9.1二维椭圆型方程有限元方法的误差估计I
9.1.1抽象误差估计
9.1.2插值算子误差估计-Taylor展开方法
9.2二维椭圆型方程有限元方法的误差估计II
9.2.1仿射簇
9.2.2局部插值算子误差估计
9.2.3二阶问题的误差估计
9.2.4L2范数误差估计
9.2.5非光滑解的收敛性
9.3抛物型方程的有限元法
9.3.1半离散有限元法
9.3.2误差分析
9.3.3全离散格式及其误差分析
9.3.4二维抛物型方程的求解算例
9.4双曲型方程的有限元法
9.4.1误差分析
9.4.2二维双曲型方程的求解算例
习题9
参考文献