随机过程教程

本书是随机过程方面的入门书籍，旨在介绍随机过程基础理论中的部分基本概念、结果、技巧及结构，内容首先包括一些普遍使用的术语和工具，紧接着是Brown运动，然后是Brown运动在两个方向上的拓广，即鞅与Markov过程，并着重介绍了构造Markov过程的关键工具一随机微分方程，也初步触及随机微分方程与偏微分方程的联系。 本书读者对象为大体上具备了测度论基础上的概率论知识的数学与统计学专业高年级本科生、研究生及相关研究人员。

前言
第1章 通用概念
1.1 概率空间
1.2 随机过程
1.3 停时
1.4 适应过程与循序可测过程
1.5 时变
1.6 可选过程
1.7 初遇与截口
1.8 Kolmogorov连续性准则
1.9 连续过程的弱收敛性
习题1
第2章 Brown运动
2.1 定义及构造
2.2 基本性质
2.2.1 轨道的Holder连续性
2.2.2 轨道的平方变差
2.2.3 自相似性
2.3 Brown运动的Markov性
2.4 Wiener空间与Wiener积分
2.5 经典Wiener空间与Cameron-Martin定理
习题2
第3章 离散时间鞅
3.1 基本定义
3.2 Doob分解
3.3 鞅与停时
3.4 平方变差过程
3.5 鞅的收敛定理
3.6 逆鞅
3.7 鞅收敛定理的初步应用例子
3.7.1 条件期望的计算
3.7.2 无穷维分布的绝对连续性
3.7.3 Kolmogorov大数定律
习题3
第4章 连续时间鞅
4.1 随机区间与简单过程
4.2 闭区间上的鞅
4.3 左闭右开区间上的鞅
4.4 不连续鞅的例子
4.5 简单过程的随机积分
4.6 平方变差过程
4.7 局部鞅
4.8 半鞅
4.9 时变下的半鞅
习题4
第5章 Markov过程与半群
5.1 Markov链：从一个例子谈起
5.2 过程的Markov性与活动概率空间
5.3 Markov族
5.4 扩展Markov性与强Markov族
5.5 强Markov性的两个应用
5.5.1 Dynkin公式
5.5.2 Kolmogorov-Ito不等式
5.6 与Markov过程联系的半群
5.7 由生成元确定Markov过程
5.8 Markov过程与鞅
5.9 初始分布为任意概率测度的Markov过程
5.10 紧空间上的Markov族
习题5
第6章 关于Brown运动的随机积分
6.1 有限区间的情形
6.2 [0,∞)的情形
习题6
第7章 关于鞅的随机积分
7.1 随机Stieltjes积分
7.2 简单过程的随机积分
7.3 可积函数类及其逼近
7.4 随机积分的构造及性质
7.5 关于局部鞅的随机积分
7.6 关于半鞅的随机积分
7.7 随机微分
7.8 随机积分的积分号下取极限
7.9 随机积分的Fubini定理
7.10 随机积分与时间变换
7.11 Stratonovich积分
习题7
第8章 Ito公式
8.1 一个分析引理
8.2 有限变差过程的Ito公式
8.3 半鞅的Ito公式
8.4 两个直接应用
8.4.1 常数变易法——Doss-Sussmann方法
8.4.2 状态空间改变法——Zvonkin方法
习题8
第9章 Ito公式的一些重要应用
9.1 Lévy-Kunita-Watanabe定理
9.2 连续局部鞅作为Brown运动的时变
9.3 鞅的随机积分表示(关于既定Brown运动)
9.4 鞅的随机积分表示(关于待定Brown运动)
9.5 指数鞅与Girsanov定理
9.6 鞅的矩估计——BDG不等式
9.7 局部时与Tanaka公式
习题9
第10章 随机微分方程
10.1 基本记号
10.2 解及其专享性的定义
10.3 强解
10.4 Lipschitz系数的方程
10.5 Lipschitz条件下强解的存在专享性
10.6 局部Lipschitz系数的方程
10.7 解的Markov性
10.8 更一般条件下强解的存在性
10.9 对初值的可微性
10.10 极限定理与时间反演
10.11 随机同胚流
习题10
第11章 随机微分方程与偏微分方程
11.1 基本记号和假设
11.2 椭圆方程
11.3 抛物方程
习题11
第12章 附录
12.1 不等式
12.2 凸函数
12.3 Helly第二定理
12.4 特征函数
12.5 递增函数
12.6 反函数定理
参考文献
索引