作者简介
李月娥,2004年毕业于兰州大学无线电物理专业后留校工作，主讲本科生课程：数学物理方法，电磁场理论。2018年，电磁场理论课程教学团队获得省级教学团队；2018年，获第五届兰州大学“我最喜爱的十大教师”称号；2018年，荣获兰州大学优秀创新创业指导教师。近5年参与编著教育部电子信息类规划教材《电磁场与电磁波》1部，《Matlab在电磁场与微波技术中的应用》专著一部。主要研究方向包括微纳光电信息材料与器件、智能光电传感等，主持并参与国家自然青年科学基金、甘肃省自然科学基金项目多项课题。
目录
第1章 复变函数与解析函数
1.1 复数及其基本运算(complex numbers and operations)
1.1.1 复数的基本概念(concepts of complex numbers)
1.1.2 复数的表示方法(algebraic and geometric structure of complex numbers)
1.1.3 复数的基本运算(operation of complex numbers)
1.1.4 基于MATLAB的复数运算(complex number operations based on MATLAB)
1.2 复变函数(complex variable functions)
1.2.1 复变函数的概念(concepts and properties of complex variable function)
1.2.2 区域的相关概念(concepts of domain)
1.2.3 复变函数的极限和连续(limit and continuity of complex variable function)
1.3 导数及解析函数(derivative and analytic function)
1.3.1 导数(derivative)
1.3.2 函数可导的充分必要条件(sufficient conditions for derivability)
1.3.3 解析函数(analytic function)
1.3.4 初等解析函数及性质(elementary analytic function and properties)
1.3.5 运用MATLAB工具使复变函数可视化(visualization of complex function based on MATLAB)
1.4 解析函数的应用(application of analytic function)
1.4.1 解析函数在平面静电场中的应用(application of analytic function in the plane electrostatic field)
1.4.2 保角变换及其几何解释(conformal mapping and its geometric interpretations)
1.4.3 解析函数在系统稳态响应问题求解中的应用(application of analytic function in oscillation system)
第1章习题
第2章 解析函数积分
2.1 复变函数的积分(integral of complex variable function)
2.1.1 复变函数积分的基本概念(concepts of complex integral)
2.1.2 复变函数积分的性质(properties of complex integral)
2.1.3 复变函数积分实例(examples of complex integral)
2.2 柯西定理(Cauchy theorem)
2.2.1 单连通区域情形的柯西定理(Cauchy theorem in simply connected domains)
2.2.2 不定积分和原函数(indefinite integral and antiderivative)
2.2.3 复连通区域的柯西定理(Cauchy theorem in multiply connected domains)
2.2.4 复变函数积分的MATLAB运算(calculation of complex integral based on MATLAB)
2.3 柯西公式及推论(Cauchy formula and extension)
2.3.1 单连通区域的柯西积分公式(Cauchy formula in simply connected domain)
2.3.2 复连通区域的柯西积分公式(Cauchy formula in multiply connected domain)
2.3.3 无界区域中的柯西积分公式(Cauchy formula for unbounded domain)
2.3.4 柯西公式推论(extension of Cauchy formula)
2.4 柯西定理及柯西公式应用实例(application examples of Cauchy theorem and Cauchy formula)
第2章习题
第3章 复变函数级数
3.1 复数项级数(complex number series)
3.1.1 复数项级数的概念(concepts of complex number series)
3.1.2 复数项级数的性质(properties of complex number series)
3.1.3 复变函数项级数(series of complex functions)
3.2 幂级数(power series)
3.2.1 幂级数概念(concepts of power series)
3.2.2 收敛半径与收敛圆(radius of convergence and circle of convergence)
3.2.3 幂级数的性质(properties of power series)
3.3 泰勒级数(Taylor series)
3.3.1 解析函数的泰勒展开式(Taylor expansion of analytic function)
3.3.2 泰勒级数的收敛半径(radius of convergence of Taylor series)
3.3.3 将函数展开成泰勒级数的实例(examples of Taylor series expansion)
3.4 洛朗级数(Laurent series)
3.4.1 洛朗级数定义(definition of Laurent series)
3.4.2 洛朗级数的收敛性(convergence of Laurent series)
3.4.3 洛朗级数展开实例(examples of Laurent series expansion)
3.5 单值函数的孤立奇点(isolated singular points of single-valued functions)
3.6 基于MATLAB的幂级数展开(power series expansion based on MATLAB)
第3章习题
第4章 留数定理及其应用
4.1 留数定理(residue theorem)
4.1.1 闭合回路积分与留数的关系(loop integral and residue)
4.1.2 留数的计算(calculation of residue)
4.1.3 基于MATLAB的留数计算(residue calculation based on MATLAB)
4.2 利用留数定理计算实积分(application of residue theorem for calculation of real integral)
4.2.1 类型Ⅰ实积分计算(type Ⅰ real integral)
4.2.2 类型Ⅱ实积分计算(type Ⅱ real integral)
4.2.3 类型Ⅲ实积分计算(type Ⅲ real integral
……
摘要
第3章
CHAPTER 3
复变函数级数
在高等数学课程中，我们学习了实变函数级数。在计算过程中，运用级数近似表示函数带来了很多便利。级数是研究复变函数理论和应用的重要工具。本章将围绕复变函数级数及复变函数的幂级数展开。我们将看到，一个函数是否解析与能否展开为幂级数是等价的，并由此发现解析函数的一些其他重要性质，从而加深对解析函数的认识。
复变函数
项级数
3.1复数项级数(complex number series)
3.1.1复数项级数的概念(concepts of complex number series)
设有复数序列{wk}，其中wk=uk+ivk,k=1,2,…为复数，则
∑∞k=1wk=w1+w2+…+wk+…(3.1.1)
称为复数项级数。前n项和Sn=w1+w2+…+wn称为级数的部分和。若部分和构成的复数序列{Sn}收敛，即limn→∞Sn=S有限，则称∑∞k=1wk级数收敛(convergent)于S，记作
S=∑∞k=1wk(3.1.2)
式(3.1.2)称为复数项级数的和。若部分和数列Sn发散，则称∑∞k=1wk级数发散(divergent)。
3.1.2复数项级数的性质(properties of complex number series)
和实变项级数类似，复数项级数的收敛可以使用柯西收敛准则判定。
定理3.1∑∞k=1wk级数收敛的充分必要条件是： 对于给定的任意小正数ε，必存在自然数N，使得n＞N时，∑n+pk=n+1wk＜ε，其中p为任意正整数。
Theorem 3.1A sufficient and necessary condition for series to converge ∑∞k=1wk is that: Given any small positive number ε, it is possible to find an integer N so that ∑n+pk=n+1wk＜ε for every n＞N, p is an arbitrary positive integer.
实际上，根据上式判断级数是否收敛是比较困难的，一般不会运用定理3.1判断级数的收敛性，需要寻求其他的判定方法，本节将介绍若干个判定定理。由于复数项级数可以写作以下形式
Sn=∑nk=1wn=∑nk=1uk+i∑nk=1vk(3.1.3)
因此，根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法。
定理3.2设wk=uk+ivk(k=1,2,…)，则级数∑∞k=1wk收敛的充分必要条件是级数的实部∑∞k=1uk和虚部∑∞k=1vk都收敛。
Theorem 3.2Suppose that wk=uk+ivk(k=1,2,…), the sufficient and necessary conditions for the convergence of ∑∞k=1wk is that both ∑∞k=1uk and ∑∞k=1vk converge.
定理3.2设wk=uk+ivk(k=1,2,…)，且S=a+ib，则∑∞k=1wk收敛于S的充分必要条件是limn→∞∑nk=1uk=a且limn→∞∑nk=1vk=b。
Theorem 3.2Suppose that wk=uk+ivk(k=1,2,…) and S=a+ib, if and only if limn→∞∑nk=1uk=a and limn→∞∑nk=1vk=b,∑∞k=1wk converges to S.
定理3.3级数∑∞k=1wk收敛的必要条件是limk→∞wk=0
Theorem 3.3If the terms of an infinite series do not tend to zero, that is limk→∞wk≠0, then the series ∑∞k=1wk diverges.
这个定理用于对级数收敛性的初步判断(preliminary test)，当limk→∞wk≠0时，可以直接判定级数发散，当limk→∞wk=0时，则需要运用其他定理判定级数是否收敛。
例3.1考察级数∑∞n=11n+i2n的敛散性。
解： 由定理3.2可知，只需讨论级数的实部级数∑∞n=11n和虚部级数∑∞n=112n的敛散性。因为级数∑∞n=11n发散，故原级数发散。
绝对收敛级数(absolutely convergent series)若级数∑∞k=1wk收敛，称原级数∑∞k=1wk为绝对收敛级数。
条件收敛级数(conditionally convergent series)若复数项级数∑∞k=1wk收敛，但级数∑∞k=1wk发散，则称原级数∑∞k=1wk为条件收敛级数。
因为
wk+1+wk+2+…+wk+p≤wk+1+wk+2+…+wk+p
由柯西收敛准则可证明绝对收敛的级数必定是收敛的。
定理3.4若级数∑∞n=1wn收敛，则级数 ∑∞n=1wn必收敛，但反之不一定成立。
Theorem 3.4If the series ∑∞n=1wn converges, then ∑∞n=1wn converges, but not vice versa.
例如，级数∑∞n=1(-1)nni=i∑∞n=1(-1)nn是收敛的，但各项取模后的级数∑∞n=1(-1)nni=∑∞n=11n发散，因此原级数∑∞n=1(-1)nni条件收敛。
另外，级数∑∞n=1wn的各项均为非负实数，因此∑∞n=1wn为正项实级数。因此，可运用正项级数的收敛性判别法则，如比较判别法、比值判别法或根式判别法等判断其收敛性。
令wn=un+ivn，则有|un|≤|wn|，|vn|≤|wn|，因此有
∑∞n=1un≤∑∞n=1wn，∑∞n=1vn≤∑∞n=1wn
(3.1.4) 1(1+z)2=-11+z′=-∑∞n=0(-1)nzn′=∑∞n=0(-1)n-1nzn-1=∑∞n=1(-1)n-1nzn-1
=∑∞n=0(-1)n(n+1)zn,z＜1
例3.16将函数arctanz在z0=0处展开为泰勒级数。
解： 因为(arctanz)′=11+z2，因此先将11+z2展开为泰勒级数，再逐项积分得到原函数的泰勒级数。
11+z2=∑∞n=0(-1)nz2n，z＜1
两边积分
∫z011+ξ2dξ=∑∞n=0(-1)n∫z0
