数值方法 C++与C#语言描述

本书主要介绍数值计算方法的主要内容，包括非线性方程求解，线性方程组求 解，插值与拟合，数值微分，数值积分，常微分方程（组）求解，数值优化，以及偏 微分方程求解。同时本书将简单介绍统计分析、神经网络的基本内容。

本书采用编译型语言作为数值计算方法的程序编写语言，就是采用C++语言和C#语言同时描述书中的算法。本书同时采用C++与C#两种流行的计算机语言实现数值计算方法，目的就是让大家掌握计算方法的基本算法本身，把更多精力放在如何通过基本算法实现更复杂的数值计算问题上。增强使用计算机编程语言编写数值计算程序的能力与信心。本书主要介绍数值计算方法的主要内容，包括非线性方程求解，线性方程组求解，插值与拟合，数值微分，数值积分，常微分方程（组）求解，数值优化，以及偏微分方程求解。同时本书将简单介绍统计分析、神经网络的基本内容。

基础知识 本章主要分为两个部分，第一部分介绍编程相关的基础知识，分别为编译工具的 选择、变量和函数的表示、判断与循环语句、类与对象的创建、数组与多维数组的创 建等，第二部分介绍了关于误差分析的基本知识。这些内容的学习都为后面学习编程 建立了良好的基础。 1.1? 编程基础 编程基础部分主要介绍编译工具，C++ 与 C# 语言的基本编写规范，比如变量与函 数的定义，判断语句与循环语句的规范，类与对象的创建，数组与多维数组的创建， 以及程序调试的方法。 1.1.1 编译工具 C++ 与 C# 的编译工具采用 Visual Studio，以目前近期新版本 Visual Studio 2022 为例， 数值计算不需要考虑界面编程，选择控制台程序即可。新建 C++ 控制台项目（图 1-1） 与 C# 控制台项目（图 1-2）分别如下。 （1）新建 C++ 控制台项目 图 1-1? 新建 C++ 控制台项目界面示意图 数值方法（C++与C#语言描述）.indd 1 2022/6/2 10:27:02 数值方法（C++ 与 C# 语言描述） 2 （2）新建 C# 控制台项目 图 1-2? 新建 C# 控制台项目界面示意图 新建项目后，C++ 与 C# 均有一个 main 函数，是控制台的主程序。 （1）C++ main 函数（图 1-3） 图 1-3? C++ main 函数示意图

1 基础知识
1.1 编程基础
1.1.1 编译工具
1.1.2 变量与函数
1.1.3 判断与循环
1.1.4 类与对象
1.1.5 数组与多维数组
1.1.6 程序调试
1.2 误差分析
1.2.1 截断误差
1.2.2 舍人误差
2 向量与矩阵
2.1 向量
2.1.1 向量类
2.1.2 基本运算
2.1.3 复杂运算
2.1.4 特殊向量
2.1.5 输出向量
2.2 矩阵
2.2.1 矩阵类
2.2.2 基本运算
2.2.3 复杂运算
2.2.4 特殊矩阵
2.2.5 输出矩阵
2.3 其他矩阵
3 非线性方程求解
3.1 普通迭代法
3.1.1 算法程序
3.1.2 算例介绍
3.2 二分迭代法
3.2.1 算法程序
3.2.2 算例介绍
3.3 牛顿迭代法
3.3.1 算法程序
3.3.2 算例介绍
4 线性方程组求解
4.1 回代法
4.1.1 算法程序
4.1.2 算例介绍
4.2 追赶法
4.2.1 算法程序
4.2.2 算例介绍
4.3 高斯消元法
4.3.1 算法程序
4.3.2 算例介绍
4.4 三角分解法
4.4.1 算法程序
4.4.2 算例介绍
4.5 雅可比迭代法
4.5.1 算法程序
4.5.2 算例介绍
4.6 高斯-赛德尔迭代法
4.6.1 算法程序
4.6.2 算例介绍
4.7 超松弛迭代法
4.7.1 算法程序
4.7.2 算例介绍
5 插值
5.1 拉格朗日插值
5.1.1 算法程序
5.1.2 算例介绍
5.2 牛顿插值
5.2.1 算法程序
5.2.2 算例介绍
5.3 分段线性插值
5.3.1 算法程序
5.3.2 算例介绍
5.4 三次样条插值
5.4.1 算法程序
5.4.2 算例介绍
6 数据拟合
6.1 线性拟合
6.1.1 算法程序
6.1.2 算例介绍
6.2 多项式拟合
6.2.1 算法程序
6.2.2 算例介绍
7 数值微分
7.1 中心差分
7.1.1 算法程序
7.1.2 算例介绍
7.2 理查森外推
7.2.1 算法程序
7.2.2 算例介绍
7.3 梯度
7.3.1 算法程序
7.3.2 算例介绍
7.4 海森矩阵
7.4.1 算法程序
7.4.2 算例介绍
8 数值积分
8.1 矩形公式
8.1.1 算法程序
8.1.2 算例介绍
8.2 梯形公式
8.2.1 算法程序
8.2.2 算例介绍
8.3 辛普森公式
8.3.1 算法程序
8.3.2 算例介绍
8.4 龙贝格公式
8.4.1 算法程序
8.4.2 算例介绍
9 常微分方程求解
9.1 欧拉法
9.1.1 算法程序
9.1.2 算例介绍
9.2 龙格库塔法
9.2.1 算法程序
9.2.2 算例介绍
9.3 常微分方程组
9.3.1 算法程序
9.3.2 算例介绍
10 数值优化
10.1 黄金分割法
10.1.1 算法程序
10.1.2 算例介绍
10.2 二次插值法
10.2.1 算法程序
10.2.2 算例介绍
10.3 最速下降法
10.3.1 算法程序
10.3.2 算例介绍
10.4 牛顿梯度法
10.4.1 算法程序
10.4.2 算例介绍
11 统计基础
11.1 随机数
11.2 随机排序
11.3 向量统计函数
11.4 矩阵统计函数
12 偏微分方程
12.1 椭圆型方程
12.2 抛物型方程
12.3 双曲型方程
13 特征值与特征向量
13.1 GramSchmidt方法
13.1.1 算法程序
13.1.2 算例介绍
13.2 Householder方法
13.2.1 算法程序
13.2.2 算例介绍
13.3 Givens方法
13.3.1 算法程序
13.3.2 算例介绍
13.4 Hessenberg矩阵
13.4.1 算法程序
13.4.2 算例介绍
13.5 特征值
13.5.1 算法程序
13.5.2 算例介绍
13.6 特征向量
13.6.1 算法程序
13.6.2 算例介绍
14 神经网络
14.1 无隐藏层神经网络
14.1.1 算法程序
14.1.2 算例介绍
14.2 批处理方法
14.2.1 算法程序
14.2.2 算例介绍
14.3 有隐藏层神经网络
14.3.1 算法程序
14.3.2 算例介绍
14.4 多分类神经网络
14.4.1 算法程序
14.4.2 算例介绍
参考文献