医学影像应用数学

本教材面向医学影像学及相关专业本科生及研究生，针对医学影像成像及图像处理等应用实际，对该领域经常用到的数学基础，如线性代数、矩阵论、复变函数与积分变换等内容进行介绍，旨在为医学影像后期课程的学习以及相关科学研究提供必要的数学基础。分为两篇八章，第一篇线性代数及矩阵论，包括行列式、矩阵及其计算、矩阵的初等变换及线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型；第二篇复变函数与积分变换，包括复数与解析函数、级数、傅里叶变换。

梁猛，男，1978年3月出生于河南省南阳市。博士，教授，博士生导师。现任天津医科大学医学影像学院副院长；兼任中国图象图形学学会脑图谱专业委员会委员、中国生理学会转化神经科学专业委员会委员。 从事教学工作近8年，作为主要参与人之一获2018年重量教学成果二等奖。主要从事信息科学与医学影像的跨学科研究，关注脑功能成像方法学及智能诊疗技术应用研究。在SCI收录期刊发表论文56篇（其中21篇为第一作者或通信作者），SCI他引2000余次。主持国家自然科学基金2项、国家重点研发计划项目子课题1项，省部级项目1项。

第一篇 线性代数
第一章 矩阵的运算与初等变换
第一节 矩阵
一、矩阵的概念
二、常见的特殊矩阵
第二节 矩阵的计算
一、矩阵的线性运算
二、矩阵的乘法运算
三、矩阵的转置
第三节 矩阵的初等变换
一、线性方程组的基本概念
二、矩阵的初等变换与初等矩阵
三、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
第四节 矩阵的逆运算
一、逆矩阵的定义
二、利用矩阵初等变换判断矩阵是否可逆及求解逆矩阵
第二章 行列式
第一节 二、三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式
第二节 n阶行列式的定义
一、排列及其逆序数
二、n阶行列式的定义
第三节 行列式的性质
第四节 行列式按行（列）展开
第五节 利用行列式求矩阵的逆与矩阵的秩
一、利用行列式求矩阵的逆
二、矩阵的秩
第三章 向量组与线性方程组的解
第一节 向量组及其线性组合
一、向量的概念及运算
二、向量组及其线性组合与线性表示
第二节 向量组的线性相关性
一、向量组的线性相关性的概念
二、向量组的线性相关性的判定
第三节 向量组的秩
一、优选无关组
二、向量组秩的定义
三、向量组的秩和矩阵的秩的关系
第四节 线性方程组的解
一、线性方程组解的判定定理
二、克拉默法则
三、齐次线性方程组解的结构
四、非齐次线性方程组解的结构
第四章 向量空间与线性变换
第一节 向量空间
一、向量空间的概念
二、向量空间的基、维数与坐标
第二节 欧式空间
一、向量的内积
二、标准正交基
第三节 线性变换
一、线性变换的概念与性质
二、线性变换的坐标与矩阵表示
三、线性变换的几何性质
第五章 相似矩阵及二次型
第一节 方阵的特征值分解和特征向量
一、方阵的特征值和特征向量
二、特征值和特征向量的求法
三、特征多项式的性质
第二节 相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似变换的概念
二、相似变换的基本性质
三、相似变换与对角化
第三节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
第四节 二次型及其标准形
一、二次型的定义
二、二次型的标准形
三、正定二次型的定义及矩阵正定的判定定理
第五节 矩阵的奇异值分解
一、矩阵奇异值的定义
二、矩阵的奇异值分解定理
第二篇 复变函数与傅里叶变换
第六章 复数与复变函数
第一节 复数
一、复数及其四则运算
二、复数的几何表示及运算
三、复数的乘幂与方根
第二节 复变函数
一、复变函数
二、复变函数的极限
三、复变函数的连续性
第三节 复变函数的导数及性质
一、复变函数的导数
二、高阶导数
第四节 解析函数
一、解析函数的概念
二、函数解析的充要条件
三、初等函数的解析性
第五节 复变函数的积分
一、积分的定义及计算
二、柯西定理
三、柯西积分公式
四、解析函数的导数
第七章 级数
第一节 收敛序列与收敛级数
一、收敛序列
二、复数项级数及其敛散性的判定
三、函数项级数
第二节 幂级数
一、幂级数的概念
二、幂级数的收敛半径
三、幂级数的运算及性质
第三节 泰勒级数
一、泰勒定理
二、函数的泰勒级数展开方法
三、泰勒级数在判断函数的凹凸性及拐点方面的应用
第四节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念
二、解析函数的洛朗展开式
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