数值计算方法

本书是根据普通高等理工科院校“数值分析”和“计算方法”课程的基本要求，结合编者多年的教学实践经验编写而成的。内容主要包括线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代法、函数插值与逼近、非线性方程求根、数值积分与数值微分、矩阵特征值的计算、常微分方程初值问题的数值解法等。本书注重读者对算法基本思想和操作的掌握，旨在训练读者的数值计算素养。书中每个核心内容都配备了适当的例题和练习，每章后均配有适量的习题，便于读者掌握和巩固重点内容。本书可作为普通高等院校数学专业和理工科各相关专业的本科生、研究生的“数值分析”和“计算方法”课程的教材或参考书。

前言
第1章引论
1.1数值计算的研究对象与特点
1.2浮点数
1.3误差的相关理论
1.3.1误差的来源
1.3.2绝对误差与绝对误差限
1.3.3相对误差与相对误差限
1.3.4有效数字
1.4误差的传播
1.4.1函数的误差估计
1.4.2算术运算的误差估计
1.4.3算法的数值稳定性
1.5数值计算中需注意的问题
1.5.1避免两个相近数相减
1.5.2避免大数“吃”小数的现象
1.5.3避免绝对值较小的数作为除数
1.5.4简化计算步骤,提高运算效率
习题1
第2章线性方程组的直接解法
2.1引言
2.1.1向量和矩阵
2.1.2矩阵的特征值与谱半径
2.1.3特殊矩阵
2.2高斯消元法及三角分解法
2.2.1高斯消元法
2.2.2LU分解
2.2.3楚列斯基分解法
2.2.4追赶法
2.2.5选主元的高斯消元法
2.2.6运算量分析
2.3误差分析
2.3.1向量和矩阵的范数
2.3.2矩阵范数
2.3.3病态方程组与条件数
习题2
第3章线性方程组的迭代法
3.1引例
3.2迭代法基本原理
3.3经典迭代法
3.3.1雅可比迭代法
3.3.2高斯-赛德尔迭代法
3.3.3松弛迭代法
3.3.4经典迭代法的收敛性
3.3.5外推法
3.4速下降法与共轭梯度法
3.4.1速下降法
3.4.2共轭梯度法
习题3
第4章函数插值与逼近
4.1插值问题的提出
4.2多项式插值
4.3拉格朗日插值
4.3.1插值基函数
4.3.2拉格朗日插值函数
4.3.3插值余项与误差估计
4.4牛顿插值
4.4.1差商
4.4.2牛顿插值多项式
4.5埃尔米特插值
4.6分段插值
4.6.1高次插值与龙格现象
4.6.2分段线性插值
4.6.3分段三次埃尔米特插值
4.7样条插值
4.7.1三次样条插值函数
4.7.2三次样条插值的求解
4.7.3误差界与收敛性
4.8三角插值与快速傅里叶变换
4.8.1三角函数插值
4.8.2快速傅里叶变换
4.9曲线拟合的小二乘法
4.9.1多项式拟合
4.9.2指数函数拟合
4.9.3分式函数线性拟合
4.9.4线性小二乘法的一般形式
4.10正交多项式
4.10.1基本概念
4.10.2常用的正交多项式
4.11函数的佳平方逼近
习题4
第5章非线性方程求根
5.1二分法
5.2不动点迭代法
5.2.1不动点迭代法的一般形式和几何意义
5.2.2不动点迭代法的收敛条件
5.2.3局部收敛性与收敛阶
5.2.4斯特芬森加速方法
5.3牛顿迭代法
5.3.1牛顿迭代法及其收敛性
5.3.2牛顿迭代法应用举例
5.4弦截法
5.5抛物线法
5.6非线性方程组的数值解法
5.6.1非线性方程组
5.6.2多变量方程的不动点迭代法
5.6.3非线性方程组的牛顿迭代法
习题5
第6章数值积分与数值微分
6.1数值积分概述
6.1.1数值积分的基本思想
6.1.2代数精度
6.1.3插值型求积公式
6.2牛顿-科茨公式和误差估计
6.2.1牛顿-科茨公式
6.2.2牛顿-科茨公式的误差估计
6.3复合求积公式
6.3.1复合梯形公式
6.3.2复合辛普森公式
6.4外推法和龙贝格求积公式
6.4.1变步长求积公式
6.4.2外推技巧
6.4.3龙贝格求积公式
6.5高斯求积公式
6.5.1高斯点与高斯求积公式
6.5.2高斯-勒让德求积公式
6.5.3高斯求积公式的稳定性
6.6数值微分
6.6.1中点公式与误差分析
6.6.2插值型数值微分公式
习题6
第7章矩阵特征值的计算
7.1特征值的性质与估计
7.2幂法和反幂法
7.2.1幂法
7.2.2反幂法
7.3雅可比方法
7.3.1实对称矩阵的旋转正交相似变换
7.3.2求矩阵特征值的雅可比方法
7.4QR方法
7.4.1豪斯霍尔德变换及矩阵的QR分解
7.4.2基本QR方法
习题7
第8章常微分方程初值问题的数值解法
8.1引言
8.2欧拉方法
8.2.1欧拉公式及其几何意义
8.2.2欧拉公式的变形
8.3截断误差和方法的阶
8.4龙格-库塔法
8.4.1二阶龙格-库塔法
8.4.2三阶龙格-库塔法
8.4.3四阶龙格-库塔法
8.5单步法的收敛性和稳定性
8.5.1收敛性
8.5.2稳定性
8.6线性多步法
8.6.1线性多步法的一般公式
8.6.2亚当斯显式与隐式公式
8.6.3米尔尼方法
习题8
参考文献