集合论、拓扑与代数初步

由于课程设置的因素，学生很难比较系统地接触集合论、拓扑和代数方面的知识。很多教师在遇到一些基本的拓扑和抽象代数的概念时，都只是简单提一下，然后匆匆的进入相应知识的传授。很多低年级同学对于这些概念都会产生似懂非懂，似是而非的感觉，这些跳跃会大大影响学生对教师所受课程的理解，有时也会对这些知识产生一些畏惧心理。本书主要介绍基本的集合论，拓扑结构，代数结构，偏序结构这些“数学常识”，弥补各门数学课程之间所遗留下来的知识缝隙，为读者继续学习其他数学课程打基础。

本书主要介绍基本的集合论，拓扑结构，代数结构，偏序结构这些“数学常识”，为读者继续学习打基础。在内容的选择上，注重概念的基本性和常用性，在内容的表述上，注重语言的标准性与严谨性，防止读者误入歧途，走弯路。

刘守民： 本科毕业于山东大学数学院，硕士毕业于中科院数学所，荷兰莱顿大学，法国波尔多一大，博士毕业于荷兰埃因霍芬理工大学，曾在荷兰阿姆斯特丹大学做博士后工作，现为山东大学泰山学堂副教授，数学取向小组副组长。常年从事本科教学，曾教授过高等代数，抽象代数，实分析，微分几何，交换代数，同调代数，拓扑群，量子群等课程，研究方向为代数表示论。

第一部分朴素集合论

第 1章集合的基本概念 . 3

1.1集合、元素 3

1.2子集、幂集 4

1.3集合的运算 6

1.4 Cartesius积 10

1.5 Russell悖论 12

第 2章映射 14

2.1映射的定义 14

2.2映射的运算 18

2.3交换图 23

2.4运算与运算律 27

第 3章集合的基数 32

3.1基数的定义 32

3.2基数的比较 36

3.3三条定理 . 41

3.4 Cantor悖论 . 43

第 4章关系 44

4.1关系的定义 44

4.2关系的运算 48

4.3关系的闭包 50

. VIII .目录

第 5章等价关系与偏序关系 54

5.1等价关系与划分 . 54

5.2等价关系与映射 . 58

5.3偏序关系 . 62

5.4 Zorn引理 66

第一部分注记. 72

第二部分拓扑结构

第 6章拓扑的基本概念 . 79

6.1拓扑的定义和例子 79

6.2子空间、商空间 85

6.3连续映射 . 89

6.4生成的拓扑 94

6.5乘积拓扑 . 98

6.6度量空间 102

第 7章分离公理和可数公理 .108

7.1分离公理 108

7.2分离公理的性质 113

7.3可数公理 115

7.4可数公理的性质 119

第 8章拓扑性质 121

8.1紧致的概念 .121

8.2紧致的性质 .125

8.3连通的概念 .129

8.4连通的性质 .133

第二部分注记135

第三部分代数结构

第 9章群的基本概念 .143

9.1群的定义和例子 143

目录 . IX .

9.2子群与商群 .148

9.3生成的子群 .153

9.4同态与同构 .155

9.5群的直积 161

9.6对称群 .164

9.7群作用简介 .169

第 10章环的基本概念173

10.1环的定义和例子 173

10.2子环与商环 .178

10.3环同态 181

10.4环的直积 183

10.5多项式环 187

10.6模简介 191

第 11章域的初步介绍194

第三部分注记198

第四部分偏序结构

第 12章偏序集的基本概念 .205

12.1偏序集的定义和例子 205

12.2链条件与良序集 207

12.3偏序集的映射 211

12.4偏序集的直积 216

第 13章格的基本概念219

13.1格的定义与例子 219

13.2子格、理想与滤子 224

13.3同态、同构 227

第 14章更多的格 229

14.1完备格 229

.X.目录

14.2模格 .231

14.3分配格 234

14.4 Boole代数 235

第四部分注记238

部分习题提示243

逻辑符号 262

字母表263

参考文献 265

索引 .269