有限群基础理论及其在物理与化学中的应用

本书为张乾二院士长年来为材料物理化学研究生开设的群论课教案的总结。该书将国际群论大师Wigner、Hamermesh的经典著作为蓝本，主要介绍了有限群（包括对称点群、置换群等）的基础知识，特别是群的表示理论，使读者对群论的精髓有所了解，在处理原子结构、分子光谱、配位化合物、原子簇化合物时，才能游刃有余。本书也结合张乾二课题组在价键理论方面的研究，介绍了群论应用。

前言 
第1章 群论基础 1 
1.1 基本概念 1 
1.1.1 群的定义 1 
1.1.2 同构关系 2 
1.1.3 子群 5 
1.1.4 循环子群 6 
1.2 抽象群的结构 6 
1.2.1 群的乘法表 6 
1.2.2 拉格朗日定理 7 
1.2.3 群的陪集分解 7 
1.2.4 抽象群结构 8 
1.3 群的类分解 10 
1.3.1 共轭类 10 
1.3.2 类的几何意义 12 
1.3.3 共轭子群 13 
1.4 商群与同态 14 
1.4.1 商群 14 
1.4.2 同态 15 
1.5 群的直积 16 
1.5.1 直积群 16 
1.5.2 直积群的类 17 
1.6 Cayley定理 17 
参考文献 19 
习题1 19 
第2章 有限群的表示理论 21 
2.1 线性向量空间 21 
2.1.1 线性向量空间的定义 21 
2.1.2 线性相关与空间的维数 22 
2.1.3 基向量（坐标系）与坐标 23
2.1.4 坐标系变换与坐标变换 26 
2.2 线性算子 26 
2.2.1 线性算子定义 26 
2.2.2 算子作用下的变换 27 
2.2.3 坐标变换引起表示矩阵的变化 29 
2.2.4 算子的乘法及变换 30 
2.2.5 空间的变换与算子作用 31 
2.3 群的表示 32 
2.3.1 群表示的定义 32 
2.3.2 等价表示 33 
2.3.3 构造表示的一种方法 37 
2.3.4 对称操作作用下的波函数 39 
2.3.5 波函数为线性算子的不变子空间 40 
2.4 酉空间和酉算子 41 
2.4.1 酉空间的定义 41 
2.4.2 基向量正交归一 41 
2.4.3 基向量的酉变换 42 
2.4.4 酉算子 43 
2.4.5 酉表示 45 
2.5 可约表示的约化及判据 46 
2.5.1 可约表示 46 
2.5.2 表示的约化 48 
2.5.3 约化的充分必要条件 50 
2.5.4 Schur引理 51 
2.6 正交定理 54 
2.6.1 不可约表示正交性 54 
2.6.2 不可约表示的特征标 56 
2.6.3 特征标的性质 58 
2.6.4 应用 60 
2.7 正则表示及其分解 62 
2.7.1 正则表示 62 
2.7.2 正则表示的分解 64 
2.7.3 两个表示含有相同的不可约表示 66 
2.7.4 构造特征标表 67 
2.8 群表示的直积 69
2.8.1 外积 69 
2.8.2 内积 72 
2.8.3 Clebsch-Gordan系数 75 
2.9 投影算子 76 
2.9.1 投影算子定义 76 
2.9.2 投影算子性质 78 
2.9.3 投影算子的意义 78 
2.9.4 应用：构造环丙烯基的轨道 79 
参考文献 80 
习题2 81 
第3章 分子对称点群的不可约表示 83 
3.1 函数的旋转变换 83 
3.2 阿贝尔群的不可约表示 84 
3.2.1 循环群 84 
3.2.2 V群 86 
3.3 Cnv和Dn点群的不可约表示 87 
3.3.1 C3v和D3点群 87 
3.3.2 C4v和D4点群 88 
3.3.3 Cnv和Dn点群 89 
3.4 Cnh和Dnh点群的不可约表示 91 
3.5 Dnd点群的不可约表示 93 
3.5.1 n为奇数 93 
3.5.2 n为偶数 93 
3.6 高阶群的不可约表示 95 
3.6.1 正四面体群 95 
3.6.2 O群与Td群 97 
3.6.3 I群和Ih群 99 
3.7 C1v和D1h群的不可约表示 100 
参考文献 102 
习题3 102 
第4章 置换群 103 
4.1 置换群引论 103 
4.1.1 置换群的定义 103 
4.1.2 置换群的性质 104 
4.2 置换群不可约表示 105
4.2.1 不可约表示分类 105 
4.2.2 杨图与杨表 106 
4.3 置换群表示的特征标 107 
4.3.1 曲长 107 
4.3.2 分支定律与特征标 108 
4.4 共轭表示 110 
4.5 不可约表示的基函数 111 
4.6 标准正交矩阵元 112 
4.7 标准投影算符与杨算符 115 
4.7.1 投影算符和杨算符 115 
4.7.2 两个不可约表示的直积 117 
4.8 一种新的标准表示矩阵计算方法 118 
参考文献 120 
习题4 120 
第5章 对称性与物质结构 122 
5.1 波函数作不可约表示的基 122 
5.1.1 波函数可作不可约表示的基函数 122 
5.1.2 不可约基函数的构造 123 
5.1.3 D3群的不可约基 124 
5.2 矩阵元的计算 126 
5.2.1 维格讷-埃卡定理 126 
5.2.2 矩阵元的约化 127 
5.2.3 苯分子能量矩阵的约化 128 
5.3 晶体中的空间群 130 
5.3.1 晶体的对称性 130 
5.3.2 晶体点群 130 
5.3.3 晶系与布拉维格子 131 
5.3.4 空间群分类与符号 132 
5.3.5 等效点系 135 
5.3.6 晶体的压电效应 139 
5.3.7 晶体相变与对称性 140 
5.4 核物理学中的对称性 142 
5.4.1 基本作用力 142 
5.4.2 同位旋对称性 142 
5.4.3 基本粒子和SU3群 145
5.4.4 粒子的多重态 149 
参考文献 152 
习题5 153 
第6章 分子轨道理论中的应用 155 
6.1 对称性匹配轨道的构造 155 
6.1.1 投影算符构造环丁二烯电子对称轨道 155 
6.1.2 休克尔的4n+2规则 156 
6.1.3 四次甲基环丁烷 157 
6.1.4 萘分子 158 
6.2 先定系数法 161 
6.2.1 链型分子 161 
6.2.2 环形分子 163 
6.2.3 四亚甲基环丁烷 165 
6.2.4 复杂体系 168 
6.3 ABn型分子的对称性匹配轨道和杂化轨道 170 
6.3.1 用投影算符获得对称性匹配轨道 171 
6.3.2 生成轨道法 173 
6.4 群重叠法判断轨道成键性质 174 
6.4.1 群重叠法 174 
6.4.2 铌团簇成键性质判断 176 
6.4.3 复合多面体Fe4S4成键性质判断 178 
6.5 前线轨道与分子轨道对称守恒 180 
6.5.1 前线轨道理论 180 
6.5.2 分子轨道对称守恒原理 181 
参考文献 184 
习题6 184 
第7章 对称性与分子光谱 186 
7.1 量子力学本征函数及其对称性 186 
7.2 非零矩阵元的检验 187 
7.2.1 能量矩阵元 188 
7.2.2 光谱跃迁概率 188 
7.3 振动模式分析 191 
7.3.1 NH3简正振动模式分析 192 
7.3.2 BX3简正振动模式分析 193 
7.3.3 CO2简正振动模式分析 194
7.4 多原子分子红外和拉曼光谱 197 
7.4.1 H2O振动光谱 197 
7.4.2 乙烯振动光谱 197 
7.4.3 四面体CH4振动光谱 199 
7.5 电子光谱 201 
参考文献 203 
习题7 203 
附录 205 
A 几种常用的矩阵 205 
B 群的特征标表 207 
C 230个空间群 211 
D 基本粒子的波函数 213 
E 部分习题参考答案 214