数学所讲座 2017

中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2017年数学所讲座的8个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体的内容包括：模空间的故事：形变和刚性、广义相对论中的拟局部质量和等周曲面、法诺簇的代数K-稳定性理论、接近非线性偏微分方程及相关的几何问题、Langlands纲领的近期进展、几何与表示掠影、量子克隆、量子可积系统新进展——非对角BetheAnsatz方法。本书可供数学专业的高年级本科生、研究生、教师和科研人员阅读参考，也可作为数学爱好者提高数学修养的学习读物。

前言
1模空间的故事：形变和刚性季理真
1.1简介1
1.2主要的刚性和形变定理4
1.2.1关于刚性的一些结果4
1.2.2关于形变的一些结果6
1.2.3我们为什么会研究刚性？7
1.2.4我们为什么会研究形变和模空间？8
1.2.5刚性和形变之间的联系9
1.2.6这些是怎么开始的？共同的根源是什么？10
1.3黎曼曲面的定义和相关历史10
1.3.1黎曼最初对模空间的定义11
1.3.2抽象的黎曼曲面的形式定义16
1.4紧黎曼曲面的模空间以及黎曼的数值方法17
1.4.1黎曼给出的初始定义18
1.4.2黎曼对模的计数18
1.4.3黎曼为什么要用模这个名词？20
1.5黎曼模问题22
1.5.1黎曼对维数的计算22
1.5.2数值模24
1.6模空间在单值化定理中的第一个应用25
1.6.1什么是单值化？25
1.6.2克莱因和庞加莱对代数曲线的单值化26
1.6.3赫尔维茨空间和塞维里簇27
1.6.4布劳威尔和科比的工作：完善连续性方法28
1.6.5弗里克空间32
1.7托勒利定理、西格尔上半空间和数值模34
1.7.1黎曼曲面的周期34
1.7.2西格尔上半空间和托勒利定理36
1.7.3数值模38
1.8泰希米勒关于模空间的工作：标记的黎曼曲面、泰希米勒空间、细模空间38
1.8.1泰希米勒问了哪些问题？39
1.8.2泰希米勒做了什么？41
1.8.3泰希米勒为什么要研究模空间？47
1.9泰希米勒理论52
1.9.1韦伊在泰希米勒空间上的工作与猜想52
1.9.2阿尔福斯和贝尔斯在泰希米勒空间上的工作53
1.9.3格罗滕迪克在泰希米勒空间上的工作55
1.10泰希米勒上的合适的复结构58
1.10.1阿尔福斯、劳赫和贝尔斯定义的Tg上的复结构58
1.10.2为什么阿尔福斯-贝尔斯-劳赫的复结构合理？62
1.10.3为何周期映射是全纯的很重要？65
1.10.4模空间上的性质和评论66
1.10.5细的和粗的模空间的定义67
1.10.6阿尔福斯和贝尔斯的复结构是合适的68
1.11代数曲线的模空间69
1.11.1Mg作为一个代数簇69
1.11.2几何不变量理论和Mg进一步性质71
1.12紧复流形的形变73
1.12.1小平邦彦-斯潘塞的形变理论73
1.12.2霍奇结构簇78
1.13塞尔贝格在格上的工作与猜想79
1.13.1塞尔贝格的工作和局部刚性80
1.13.2塞尔贝格在算术性的猜想82
1.14莫斯托关于局部对称空间的强刚性83
1.14.1强刚性和它的历史83
1.14.2莫斯托强刚性的证明85
1.15复流形的刚性86
1.15.1刚性的概念86
1.15.2复射影空间的强刚性86
1.15.3埃尔米特局部对称空间的刚性86
1.15.4刚性和算术性87
1.15.5局部对称埃尔米特空间的局部刚性和定义的域88
1.16马尔古利斯超刚性和格的算术性88
1.16.1超刚性89
1.16.2超刚性的推论90
1.17永不结束的故事91
参考文献97
2广义相对论中的拟局部质量和等周曲面史宇光
2.1等周问题的历史及若干影响107
2.2各种曲率假设下的等周面积比较定理108
参考文献116
3法诺簇的代数K-稳定性理论许晨阳
3.1历史简介119
3.2法诺簇的K-稳定性理论120
3.3法诺簇的K-模空间122
3.4显式例子124
3.4.1|KX|Q的奇点不变量124
3.4.2模空间方法125
3.4.3未知情形126
参考文献126
4接近非线性偏微分方程及相关的几何问题关波
4.1引言130
4.2偏微分方程在几何、分析中应用的例子130
4.2.1等周不等式131
4.2.2Alexandrov极大值原理133
4.2.3Sobolev不等式和Monge-Ampère方程134
4.2.4常平均曲率闭曲面和Alexandrov定理136
4.3几何问题中Monge-Ampère方程及其推广139
4.3.1Minkowski问题140
4.3.2Alexandrov-Chern Minkowski问题141
4.3.3Weyl等距嵌入问题143
4.3.4Calabi猜想和复Monge-Ampère方程145
4.3.5Mabuchi度量和Donaldson猜想146
4.4黎曼流形上的一类接近非线性椭圆偏微分方程148
4.4.1Dirichlet问题149
4.4.2闭流形上的接近非线性方程151
参考文献151
5Langlands纲领的近期进展李文威
5.1引言153
5.2自守形式153
5.2.1起源：上半平面153
5.2.2复环面的模空间154
5.2.3一般理论156
5.3表示理论的观点157
5.3.1过渡157
5.3.2谱分解158
5.3.3间奏：赋值和adèle环159
5.3.4回到谱分解160
5.3.5光滑表示161
5.4Langlands纲领162
5.4.1Langlands对偶群162
5.4.2非分歧表示162
5.4.3L-函数163
5.4.4Langlands函子性164
5.4.5Langlands对应165
5.4.6几何、算术与分析166
5.5函数域情形：Weil的见解167
5.5.1Dedekind-Kronecker-Weil的洞见167
5.5.2挠子的模空间168
5.5.3数域上的一种类比169
5.5.4函数域上实现整体Langlands对应的思路170
5.6Lafforgue工作的概述171
5.6.1Hecke叠和shtuka171
5.6.2上同调172
5.6.3巡游算子或S-算子173
5.7几何Langlands纲领174
5.7.1几何化的线索174
5.7.2范畴化175
5.8量子Langlands纲领概述175
参考文献176
6几何与表示掠影付保华
6.1引子：正多面体177
6.2SL(2，C)中有限子群的表示178
6.3克莱因奇点及其极小解消181
6.4McKay对应及其发展182
6.5幂零轨道184
6.6Springer解消185
6.7Springer对应188
6.8McKay遇见Springer？191
参考文献192
7量子克隆骆顺龙
7.1两朵乌云194
7.2机械观之兴衰196
7.3量子克隆之前世199
7.4量子克隆之今生207
7.5量子信息212
7.6若干课题214
参考文献220
8量子可积系统新进展——非对角Bethe Ansatz方法杨文力
8.1量子可积模型介绍228
8.2非对角Bethe Ansatz方法230
8.3拓扑自旋环232
8.3.1构造Bethe态236
8.4非平行边界的自旋链238
8.4.1非平行边界的XXX自旋链238
8.4.2非平行边界的XXZ自旋链243
8.4.3XXZ自旋链的热力学极限和表面能246
8.5总结和展望248
参考文献248