高等微积分

本书是作者在电子科技大学讲授十余年高等微积分（数学分析）的基础上编写而成的，是为需要深厚数理基础的高素质创新型理工科人才编写一本数学分析教材。全书共六章，内容包括：点列极限与实数理论、函数极限与连续函数、微分学、积分学、级数理论、常微分方程。每一章均配有大量的典型例题和具有一定难度的习题，书后还附有参考答案与提示。本书还介绍了部分在数学及其应用上都有重要意义的内容，如压缩映射原理、有界变差函数、混沌、变分学、Fourier分析、常微分方程稳定性理论等。书中加*的为全国大学生数学竞赛题目。 本书可作为高等院校数学类各专业本科生、对数学要求较高的理工科相关专业本科生的数学分析或高等微积分教材，也可作为准备参加全国硕士研究生入学考试、全国大学生数学竞赛的人员的参考书。

前言
第1章 点列极限与实数理论
1.1 数列极限与Stolz定理
1.1.1 数列极限
1.1.2 无穷大量
1.1.3 Stolz定理
1.2 实数系的基本定理
1.2.1 单调有界定理
1.2.2 闭区间套定理
1.2.3 归并原理与Bolzano-Weierstrass定理
1.2.4 Cauchy收敛原理
1.2.5 确界存在定理
1.2.6 有限覆盖定理
1.2.7 实数系基本定理的等价性
1.3 上极限与下极限
1.3.1 数列的上极限与下极限
1.3.2 上极限与下极限的运算
1.3.3 上极限与下极限的应用
1.4 Rd中点列的极限及基本定理
1.4.1 Rd中的一些常用概念
1.4.2 Rd中点列的极限
1.4.3 Rd中的基本定理
1.5 压缩映射原理
1.5.1 一元函数的压缩映射原理
1.5.2 多元向量值函数的压缩映射原理
习题
第2章 函数极限与连续函数
2.1 一元函数的极限与连续
2.1.1 函数极限的定义与Heine-Borel定理
2.1.2 函数极限的Cauchy收敛原理
2.1.3 连续函数
2.1.4 一致连续
2.2 闭区间上连续函数的性质
2.3 指数函数、对数函数、幂函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 对数函数
2.3.3 幂函数
2.4 有界变差函数简介
2.5 混沌初步
2.6 多元函数的极限与连续
2.6.1 多元函数的极限
2.6.2 多元连续函数
2.6.3 紧集上的多元连续函数的性质
2.6.4 二元凸函数的连续性
2.6.5 向量值函数的极限与连续
习题
第3章 微分学
3.1 一元函数导函数的性质
3.1.1 导数的定义
3.1.2 导数极限定理
3.1.3 导函数中间值性质
3.1.4 导数的逼近
3.2 一元函数的Taylor公式及其应用
3.2.1 一元函数的Taylor公式
3.2.2 一元函数的Taylor公式在理论分析中的应用
3.2.3 一元函数的Taylor公式在近似计算中的应用
3.3 多元函数的偏导数与Taylor公式
3.3.1 偏导数及其性质
3.3.2 多元函数的Taylor公式及其应用
3.3.3 多元函数向量值函数的微分学
3.4 隐函数定理
3.4.1 一个方程所确定的隐函数
3.4.2 方程组所确定的隐函数组
3.5 条件极值
习题
第4章 积分学
4.1 定积分
4.1.1 Riemann积分的定义及其性质
4.1.2 Darboux和及其性质
4.1.3 Riemann可积的条件
4.1.4 Newton-Leibniz公式
4.1.5 积分中值定理
4.2 重积分
4.2.1 平面点集的面积
4.2.2 二重积分的定义与存在性
4.2.3 二重积分的计算
4.3 曲线积分与曲面积分
4.3.1 曲线积分
4.3.2 曲面的面积
4.3.3 曲面积分
4.3.4 Green公式、Gauss公式、Stokes公式
4.4 反常积分
4.4.1 无界区间上的反常积分
4.4.2 无界函数的瑕积分
4.4.3 反常积分的Cauchy主值
4.4.4 反常重积分
4.5 含参变量的定积分
4.6 含参变量的反常积分
4.6.1 含参变量反常积分一致收敛的定义
4.6.2 含参变量反常积分一致收敛的判别
4.6.3 含参变量反常积分一致收敛的性质
4.6.4 Γ函数与Beta函数
4.7 变分学初步
4.7.1 一元函数情形
4.7.2 多元函数情形
习题
第5章 级数理论
5.1 数项级数
5.1.1 正项级数敛散性的判别
5.1.2 一般项级数敛散性的判别
5.1.3 加法结合律
5.1.4 加法交换律
5.1.5 级数的乘法
5.2 函数列与函数项级数
5.2.1 函数列一致收敛的定义及其性质
5.2.2 函数项级数一致收敛的定义及判别法
5.2.3 函数项级数和函数的分析性质
5.3 幂级数
5.3.1 幂级数的和函数的基本性质
5.3.2 Taylor级数与函数的幂级数展开
5.3.3 复值幂级数与Euler公式
5.4 Fourier分析初步
5.4.1 Dirichlet积分
5.4.2 Fourier级数的收敛判别法
5.4.3 Fourier级数的积分与求导
5.4.4 Fourier级数的逼近性质
5.4.5 Fourier变换和Fourier积分
习题
第6章 常微分方程
6.1 解的存在与延拓、比较定理
6.1.1 解的存在和专享性定理
6.1.2 解的延拓
6.1.3 比较定理
6.2 线性微分方程组
6.2.1 齐次线性微分方程组
6.2.2 非齐次线性微分方程组
6.2.3 常系数齐次线性微分方程组的求解
6.3 稳定性理论初步
6.3.1 Lyapunov稳定性
6.3.2 按线性近似决定稳定性
习题
参考答案与提示
参考文献
索引