常微分方程——解析方法与数值方法

本书主要介绍常微分方程的一些常用解析方法和数值方法，对于一阶常微分方程，介绍了4种常用的解析方法，即变量分离法、常数变易法、积分因子法、参数表示法；对于高阶常微分方程，重点讨论了特征根法、比较系数法、拉普拉斯变换法、降阶法和幂级数法；对于线性常微分方程组，介绍了其一般理论及基解矩阵的计算等。此外，本书还介绍了常微分方程初值问题和边值问题的数值求解方法，这些数值方法不仅包括经典的欧拉方法、Runge-Kutta方法、有限差分方法、有限元方法等，还涉及近年来数值计算中流行的配点方法。解析方法与数值方法并驾齐驱，相互促进，是求解常微分方程的两种重要手段。本书以各类方法为切入点，通过引入大量的经典常微分方程模型，深入浅出地阐述了各种模型问题的求解。本书可供数学专业高年级本科生或研究生阅读，也可作为从事数学建模、数学实验、科学工程计算等方面工作的理工类专业人员的参考书。

第1章 常微分方程模型
1.1 经典常微分方程模型
1.2 常微分方程基本概念
1.2.1 基本概念
1.2.2 几何意义
1.3 常微分方程发展历史
习题1
第2章 一阶常微分方程的解析方法
2.1 变量分离法
2.1.1 变量分离方程
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
2.2 常数变易法
2.3 积分因子法
2.3.1 恰当微分方程
2.3.2 积分因子法
2.4 参数表示法
2.4.1 可以解出y（或x）的方程
2.4.2 不显含y或x的方程
2.5 应用举例
习题2
第3章 一阶常微分方程的解的存在理论
3.1 解的存在专享性定理
3.2 解的延拓定理
3.3 解对初值的连续性定理
3.4 解对初值的可微性定理
3.5 包络和奇解
习题3
第4章 高阶常微分方程的解析方法
4.1 高阶线性微分方程的一般理论
4.1.1 线性微分方程模型
4.1.2 齐次线性微分方程
4.1.3 非齐次线性微分方程
4.2 特征根法
4.2.1 复值函数与复指数函数
4.2.2 常系数齐次线性微分方程
4.2.3 欧拉方程
4.3 比较系数法
4.4 拉普拉斯变换法
4.5 降阶法
4.6 幂级数法
4.7 应用问题举例
习题4
第5章 线性常微分方程组的解析方法
5.1 线性微分方程组的一般理论
5.1.1 基本概念
5.1.2 存在专享性定理
5.1.3 齐次线性微分方程组
5.1.4 非齐次线性微分方程组
5.2 常系数线性微分方程组
5.2.1 矩阵指数expA
5.2.2 基解矩阵的计算
5.3 应用问题举例
习题5
第6章 常微分方程初值问题的数值解
6.1 欧拉方法
6.1.1 欧拉方法及其改进
6.1.2 欧拉方法分析
6.2 Runge-Kutta方法
6.3 线性多步方法
6.4 应用举例
习题6
第7章 常微分方程边值问题的数值解
7.1 有限差分方法
7.2 有限元方法
7.3 配点方法
7.4 打靶法
7.5 应用举例
习题7
参考文献