可积系统、正交多项式和随机矩阵——Riemann-Hilbert方法

本书以反散射理论、Riemann-Hilbert方法、Deift-Zhou非线性速降法和百速降法为分析工具，系统阐述这些方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵理论方面的应用。主题部分取材于Deift、McLaughlin、Biondini、Jenkins等一些学者近年来近期新前沿成果。内容主要包括Riemann-Hilbert方法与Schrodinger方程的零边界和非零边界求解；Deift-Zhou非线性速降法与mKdV方程的长时间渐近性；速降法与Schrodinger方程在孤子区域的长时间渐近性；正交多项式和随机矩阵的渐近性分析。本书可作为数学系、物理系研究生教材，也可作为高年级本科生学习非线性方程求解和渐近分析、正交多项式和随机矩阵渐近分析的教材，亦可作为有关科技工作者从事科研的实用参考书。

《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 绪论
1.1 RH问题
1.1.1 RH问题的产生和发展
1.1.2 RH方法和思想
1.2 RH方法在可积系统初值问题应用状况
1.2.1 求解可积系统方面
1.2.2 分析解的渐近性方面
1.2.3 RH方法、反散射和方法比较
1.3 在正交多项式和随机矩阵应用状况
第2章 矩阵分析初步
2.1 矩阵范数
2.2 矩阵序列和级数
2.3 矩阵的导数和积分
2.4 张量积和外积
2.5 矩阵特征值估计
第3章 复分析和RH问题
3.1 Jordan定理
3.2 解析变换
3.2.1 保域性
3.2.2 保角性
3.3 共形映射
3.4 Cauchy积分定理和Painlevé开拓定理
3.5 Cauchy主值积分和Plemelj公式
3.5.1 Cauchy主值积分
3.5.2 Cauchy主值积分存在性
3.5.3 Plemelj公式
3.6 Laplace积分
3.7 最速下降法
3.7.1 速降方向
3.7.2 稳态相位点和速降线
3.7.3 复积分的渐近估计与应用
3.8 矩阵RH问题
3.9 积分型Taylor公式
第4章 广义函数及其应用
4.1 广义函数的定义
4.1.1 历史概述
4.1.2 基本空间
4.2 广义函数的性质
4.2.1 广义函数方程
第5章 RH方法求解零边界的NLS方程
5.1 聚焦NLS方程
5.1.1 特征函数
5.1.2 渐近性
5.2 解析性和对称性
5.2.1 解析性
5.2.2 对称性
5.3 相关的RH问题
5.3.1 规范化RH问题
5.3.2 RH问题的可解性
5.4 NLS方程的N孤子解
5.4.1 矩阵向量解的时空演化
5.4.2 N孤子解公式
5.4.3 单孤子解
第6章 RH方法求解非零边界的NLS方程
6.1 非零边界问题
6.2 NLS方程的Lax对
6.3 Riemann面和单值化坐标
6.4 Jost函数的解析性、对称性和渐近性
6.4.1 Jost函数
6.4.2 μ±的依赖性
6.4.3 μ±和S(z)的解析性
6.4.4 μ±和S(z)的对称性
6.4.5 μ±和S(z)的渐近性
6.5 相关广义RH问题
6.6 离散谱和留数条件
6.7 RH问题的可解性
6.7.1 重构公式
6.7.2 迹公式和θ条件
6.7.3 无反射势情况
6.8 NLS方程的N孤子解
6.9 带有非零边界的NLS方程的双重极点解
6.9.1 双重极点的离散谱和留数条件
6.9.2 双重极点下的RH问题和重构公式
6.9.3 迹公式和相位差
6.9.4 无反射势情况和双重极点解
第7章 方法与可积系统
7.1 问题
7.1.1 问题的概念
7.1.2 广义Cauchy积分定理
7.1.3 广义Cauchy公式
7.1.4 算子的Green函数
7.1.5 求解问题
7.1.6 问题与RH问题的联系
7.2 ZS谱问题和NLS方程族
7.2.1 问题和Lax对
7.2.2 推导方程族
7.2.3 构造孤子解
7.2.4 谱问题的规范等价性
7.3 WKI谱问题和mNLS方程族
7.3.1 WKI谱问题
……