数学方法论

第一章 数学方法论简介 1
第一节 数学方法论概述 1
一、什么是数学？ 1
二、数学是什么科学？ 2
三、方法与数学方法 4
四、数学方法的特点 7
五、方法论与数学方法论 8
第二节 数学方法论在数学中的作用和地位 8
一、数学方法论研究的意义 8
二、数学思想的特性和作用 11
三、数学思想的教学功能 12
习题一 13
第二章 数学抽象与数学模型 15
第一节 数学抽象 15
一、数学抽象的概念 16
二、数学抽象的特点 16
三、数学抽象的基本方法 17
四、利用抽象法解决数学问题的方法 18
第二节 数学模型 22
一、数学建模基本概述 22
二、应用举例 24
三、数学建模报告的写作、评价 28
习题二 29
第三章 推理思想 31
第一节 合情推理 31
一、归纳法 31
二、类比法 47
第二节 演绎推理 53
一、三段论 54
二、选言推理 56
三、假言推理 56
四、关系推理 56
第三节 直觉思维 56
一、观察 58
二、实验 68
三、观察和实验的教学 72
习题三 73
第四章 常见的数学思想与数学解题 75
第一节 符号化思想 75
一、符号对数学发展的影响 76
二、数学符号导致新的数学分支的产生 77
第二节 方程与函数思想 78
一、方程思想 78
二、函数思想 84
第三节 公理化思想 95
第四节 整体化思想 100
第五节 分类讨论思想 107
一、分类的原因 108
二、分类的标准 108
三、分类的原则 108
四、分类讨论的常规方法 109
五、用分类讨论思想解题的一般步骤 109
六、分类思想应用举例 109
七、避开分类讨论的几种方法 117
第六节 集合思想 120
第七节 转化与变换思想 122
一、等价条件变换 122
二、非等价变换 123
第八节 逐步逼近思想 124
习题四 128
第五章 常见的数学方法与数学解题 130
第一节 数形结合方法 130
第二节 化归方法 138
一、化归的原则 141
二、化归的途径 143
三、化归思想在数学解题中的几个应用 147
第三节 关系映射反演法 152
第四节 构造法 156
第五节 特殊化和一般化 162
第六节 反证法与同一法 169
一、反证法 169
二、同一法 174
第七节 综合法与分析法 176
一、综合法 176
二、分析法 178
习题五 180
第六章 数学美学 181
第一节 数学美概述 181
一、关于数学美 181
二、数学教学中美学和美育研究发展状况 183
第二节 数学美的特征 183
第三节 数学美的教学功能 188
第四节 培养数学美的途径 189
一、挖掘“数学美因”，向学生渗透数学美 189
二、利用现代信息技术，优化数学审美过程 193
三、开展丰富的数学活动，让学生在“做数学”的过程中体验数学美 196
习题六 196
第七章 数学思想方法与数学教育 198
第一节 数学思想方法在中学数学教学的价值和作用 198
第二节 数学思想方法论的课堂教学策略 205
一、在课堂教学中贯彻数学思想方法 205
二、用数学思想方法帮助学生建构数学概念 207
三、加强解题研究，突出数学思想方法的作用，培养学生学习兴趣 209
四、深入分析，加强数学学科内的联系和知识的综合 209
五、注重教学过程，培养学生的研究意识，优化知识结构 210
六、加强解题研究，培养学生的数学直觉，学会自主学习和概括 210
习题七 211
习题答案 212
参考文献 226