变分法与常微分方程边值问题

作为此前出版的《非线性常微分方程边值问题》研究内容的后续进展，本书是作者十余年来在常微分方程和时滞微分方程周期轨道方面所作研究工作的总结。在介绍临界点理论和指标理论的基础上，对常用的Z2指标理论和S指标理论作出推广，提出和论证了Zn指标理论和S指标理论，拓展了应用范围。对不同类型的时滞微分方程通过选定相应的Hilbert空间，在其上给出自伴线性算子，构造特定的可微泛函，得出多个周期轨道的估计。对非自治型时滞微分方程的研究，是一个值得继续探索的方向。本书适用于本科高年级学生和微分方程与泛函分析方向的研究生、教师，以及对本方向有兴趣的研究人员。

《现代数学基础丛书》序 
前言 
第1章 泛函分析基本概念与变分法要点 1 
1.1 空间与泛函 1 
1.1.1 空间 1 
1.1.2 泛函 7 
1.1.3 空间上的不等式 13 
1.1.4 泛函与临界点 16 
1.2 变分法的产生 18 
1.3 变分法用于微分方程边值问题的研究 22 
第2章 临界点存在定理和指标理论 26 
2.1 临界点存在定理 26 
2.1.1 (PS)-条件与极大极小原理 26 
2.1.2 极值点的存在性 35 
2.1.3 鞍点存在定理和山路引理 40 
2.2 指标理论和多个临界点的存在定理 49 
2.2.1 指标理论与伪指标理论 49 
2.2.2 指标与临界点个数的关系 52 
2.2.3 临界点个数的具体估计 53 
2.2.4 Z2指标理论与伪Z2指标理论 55 
2.2.5 S1指标理论和伪S1指标理论 58 
2.3 Zn指标理论和伪Zn指标理论 61 
2.4 Sn指标理论和伪Sn指标理论 71 
2.5 周期轨道和临界点 77 
2.5.1 几何上不同的周期轨道 77 
2.5.2 指标的规范性 82 
2.5.3 Sn指标与几何上不同的周期轨道个数 84 
2.5.4 Zn指标与几何上不同的周期轨道个数 85
第3章 带p-Laplace算子微分方程边值问题 95 
3.1 带p-Laplace算子微分方程单侧多点边值问题 96 
3.1.1 预备知识和主要结果 96 
3.1.2 若干引理 97 
3.1.3 定理3.1的证明 100 
3.1.4 定理3.1的示例 100 
3.2 带p-Laplace算子微分方程双侧多点边值问题 101 
3.2.1 泛函构造及定理证明 102 
3.2.2 定理3.2的示例 104 
3.3 带p-Laplace算子微分方程混合边值问题 105 
3.3.1 问题和结论 105 
3.3.2 定理3.3的证明 106 
3.3.3 定理3.3的示例 110 
3.3.4 定理3.4的证明 111 
3.3.5 定理3.4的示例 118 
3.4 带p-Laplace算子微分方程的Dirichlet边值问题 119 
3.4.1 问题和结论 119 
3.4.2 边值问题的转换 120 
3.4.3 Fenchel变换和泛函的临界点 122 
3.4.4 定理3.5的证明 129 
3.4.5 定理3.5的示例 131 
3.5 二阶脉冲微分方程两点边值问题 131 
3.5.1 Sturm-Liouville边值问题的特征函数系 132 
3.5.2 脉冲线性方程边值问题 133 
3.5.3 脉冲非线性方程边值问题 136 
3.5.4 非线性二阶方程Sturm-Liouville边值问题的正解 137 
第4章 偶数阶时滞微分方程的周期轨道 142 
4.1 自伴线性算子和半线性方程 142 
4.1.1 自伴线性算子和半线性方程的概念 142 
4.1.2 周期函数空间上的两类线性算子 143 
4.1.3 周期函数空间上的算子P和Ω 150 
4.1.4 Hilbert空间上的几个极限 159 
4.1.5 整变量函数的上下界及算子的紧性 166 
4.1.6 算子的可逆性 167 
4.1.7 周期函数空间上的泛函 171
4.2 二阶多滞量微分方程的周期轨道 172 
4.2.1 导言 172 
4.2.2 方程(4.32)的n+1-周期轨道 173 
4.2.3 方程(4.32)的n-周期轨道 188 
4.2.4 本节定理的示例 191 
4.3 2n阶双滞量微分方程的周期轨道 191 
4.3.1 同余映射 192 
4.3.2 方程(4.69)的周期轨道 194 
4.3.3 方程(4.70)的周期轨道 201 
4.3.4 定理4.11和定理4.14的示例 210 
4.4 非Kaplan-Yorke型2n-阶多滞量微分方程的周期轨道(1) 212 
4.4.1 预备引理 214 
4.4.2 情况1中方程(4.121)的周期轨道 216 
4.4.3 情况2中方程(4.121)的周期轨道 225 
4.4.4 情况3中方程(4.121)的周期轨道 230 
4.4.5 定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例 235 
4.5 非Kaplan-Yorke型2n-阶多滞量微分方程的周期轨道(2) 239 
4.5.1 方程(4.201)的m+1-周期轨道 241 
4.5.2 方程(4.202)的2(2l+1)-周期轨道 250 
4.5.3 方程(4.203)的2l-周期轨道 257 
4.5.4 方程(4.204)的2l-周期轨道 266 
4.5.5 方程(4.205)的2l-周期轨道 274 
4.5.6 定理4.23的示例 285 
第5章 奇数阶时滞微分方程的周期轨道 290 
5.1 反自伴算子和微分系统的分解 290 
5.1.1 反自伴线性算子和对称向量 290 
5.1.2 对称矩阵耦与欧氏空间RN的正交分解 292 
5.1.3 时滞微分系统的分解 296 
5.2 两类奇数阶多滞量时滞微分方程的周期轨道 300 
5.2.1 两类奇数阶多滞量微分方程的周期轨道 300 
5.2.2 方程(5.32)的4k-周期轨道 301 
5.2.3 方程(5.33)的4k-周期轨道 308 
5.2.4 本节示例 311 
5.3 一般情况下的奇数阶多滞量微分方程 314 
5.3.1 对称向量与反对称阵 315
5.3.2 方程(5.61)的变分结构及相关结论 319 
5.3.3 定理5.7的示例 327 
5.4 2k-1个滞量的微分系统周期轨道 329 
5.4.1 两类奇数个滞量微分方程周期轨道的多重性 329 
5.4.2 相关定理的示例 357 
5.5 2k个滞量的微分系统周期轨道 364 
5.5.1 偶数个滞量微分系统周期轨道的多重性 364 
5.5.2 系统(5.190)周期轨道的多重性 365 
5.5.3 微分系统(5.191)的2k+1-周期轨道 391 
5.5.4 本节示例 413 
第6章 非自治微分系统的调和解 422 
6.1 周期函数空间上的Zn指标理论 422 
6.2 扩展的Fisher-Kolmogorov方程的周期边值问题 425 
6.2.1 两类扩展的Fisher-Kolmogorov方程 428 
6.2.2 边值问题(6.22)的有解性和多解性 430 
6.2.3 边值问题(6.23)的无穷多解性 433 
6.3 扩展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿轨道 436 
6.4 非自治4阶时滞微分方程的调和解(1) 441 
6.4.1 方程(6.40)的n+1-周期调和解 441 
6.4.2 方程(6.40)的s+1-周期调和解 456 
6.4.3 方程(6.40)调和解的示例 458 
6.5 非自治4阶时滞微分方程的调和解(2) 459 
6.5.1 n=2k.1，k.1时方程(6.69)的调和解 460 
6.5.2 n=2k，k.1时方程(6.69)的调和解 470 
6.6 非自治多滞量时滞微分方程的调和解 478 
6.6.1 向量与矩阵 479 
6.6.2 向量a为对称向量时方程(6.127)的调和解 487 
6.6.3 向量a为反号对称向量时方程(6.127)的调和解 495 
6.6.4 本节定理的示例 501 
6.7 无穷多个调和解的存在性 506 
6.7.1 定理的证明 507 
6.7.2 定理的示例 515 
参考文献 517 
后记 525 
《现代数学基础丛书》已出版书目 526