数学分析选讲

《数学分析选讲》以讲义形式从20世纪80年代开始在江西师范大学使用，之后不断创新和改进，旨在进一步提高学生的分析数学理论水平，深化数学分析的主要概念，掌握数学分析的内容和方法，培养严谨的科学态度，为今后的数学学习打下良好的基础；打破了通常“单元—多元”“极限—微分—积分—级数”系统，使这些内容互相渗透，综合考虑，注重揭示概念的实质和概念之间的联系以及综合应用能力的培养。内容包括映射、关系、实数域，函数极限及其计算技巧，连续与微分，级数，积分，曲线积分、曲面积分、场论。语言上，尽可能接近现代数学的观点；内容上，着重处理了分析中的一些难点，注意加强基本技能的训练和培养；力求清楚明确，便于自学。
本书既可作为高等院校数学类专业高年级本科生“数学分析选讲”课程的教材，又可作为考研复习指导材料，同时也可作为教师的教学参考书。

前言
第1章 映射、关系、实数域
1.1 映射、关系
1.1.1 一些常用的符号
1.1.2 映射
1.1.3 关系
习题 1.1
1.2 有理数集的性质及其缺陷
1.2.1 有理数集Q的基本性质
1.2.2 有理数序列的极限
1.2.3 有理数基本序列
习题 1.2
1.3 实数的康托尔构造
1.3.1 实数的定义
1.3.2 实数的运算
1.3.3 实数的序
1.3.4 实数的完备性
习题 1.3
1.4 实数集上的几个等价定理
1.4.1 魏尔斯特拉斯的单调有界定理
1.4.2 柯西-康托尔的闭区间套定理
1.4.3 戴德金的分割定理
1.4.4 确界定理
1.4.5 海涅–博雷尔的有限覆盖定理
1.4.6 魏尔斯特拉斯的聚点定理
1.4.7 波尔查诺的致密性定理
1.4.8 柯西收敛准则
习题 1.4
第2章 函数极限及其计算技巧
2.1 函数的极限
2.1.1 一元函数的极限
2.1.2 一元函数极限的性质
习题 2.1
2.2 Rn上的点集及多元函数的极限
2.2.1 Rn上的点集
2.2.2 多元函数的极限
习题 2.2
2.3 上极限与下极限
2.3.1 数列的上极限与下极限
2.3.2 上、下极限的性质
2.3.3 函数的上、下极限
习题 2.3
2.4 阶的估计
2.4.1 基本概念
2.4.2 有关Ο与ο的基本运算法则
2.4.3 几个基本方式及应用
习题 2.4
2.5 施托尔茨定理及其推广
2.5.1 施托尔茨定理
2.5.2 洛必达法则
2.5.3 特普利茨定理
习题 2.5
第3章 连续与微分
3.1 连续与一致连续
3.1.1 连续与一致连续的概念
3.1.2 连续函数的性质
3.1.3 一致连续的条件
3.1.4 运算法则
习题 3.1
3.2 导数、微分中值定理
3.2.1 有关导数的几个特性
3.2.2 可导与连续
3.2.3 微分中值定理及其推广
习题 3.2
3.3 不等式与凸函数
3.3.1 几个例子
3.3.2 凸函数
习题 3.3
3.4 方向导数、偏导数及全微分
3.4.1 方向导数和偏导数
3.4.2 全微分
3.4.3 混合偏导的一个问题
3.4.4 含有导数、偏导数式子的变量代换
习题 3.4
3.5 隐函数理论
3.5.1 压缩映像原理
3.5.2 隐函数定理
3.5.3 反函数组与坐标变换
3.5.4 雅可比行列式的性质
习题 3.5
第4章 级数
4.1 一致收敛性与累次极限
4.1.1 函数列的一致收敛性
4.1.2 累次极限
4.1.3 二元函数的一致收敛性
习题 4.1
4.2 等度连续
习题 4.2
4.3 数项级数和二重级数
4.3.1 数项级数
4.3.2 平均求和
4.3.3 二重级数
习题 4.3
4.4 函数项级数的一致收敛性
习题 4.4
4.5 三角函数系与傅里叶级数
习题 4.5
第5章 积分
5.1 黎曼可测集
习题 5.1
5.2 黎曼积分
习题 5.2
5.3 连续函数的积分
习题 5.3
5.4 积分计算举例
习题 5.4
5.5 广义积分
5.5.1 一元函数的广义积分
5.5.2 广义重积分
习题 5.5
5.6 含参数积分
5.6.1 含参数正常积分
5.6.2 含参数广义积分
5.6.3 含参数广义积分的性质
5.6.4 欧拉积分
习题 5.6
第6章 曲线积分、曲面积分、场论
6.1 曲线积分
6.1.1 曲线及其长度
6.1.2 第一型曲线积分
6.1.3 第二型曲线积分
习题 6.1
6.2 曲面积分
6.2.1 曲面及其面积
6.2.2 第一型曲面积分
6.2.3 第二型曲面积分
习题 6.2
6.3 几类积分之间的关系
6.3.1 两类曲线积分之间的关系
6.3.2 两类曲面积分之间的关系
6.3.3 平面线积分与二重积分之间的关系
6.3.4 空间曲面积分与三重积分之间的关系
6.3.5 曲面积分与曲线积分之间的关系
习题 6.3
6.4 场论
6.4.1 场的概念
6.4.2 梯度、散度和旋度
6.4.3 微分恒等式
习题 6.4
参考文献